组合博弈入门：Nim游戏策略与算法实现

"这篇资料是关于杭电ACM课程中的Nim游戏介绍，属于组合博弈的初步学习。课程由杭州电子科技大学的刘春英教授主讲，内容包括基本的组合游戏概念、Nim游戏的规则以及相关的算法实现。" Nim游戏是一种经典的两人对弈的策略游戏，通常用于教授基础的博弈论概念。在这个游戏中，两个玩家轮流从几堆不同数量的物品中取走一定数量的物品。具体规则如下： 1. 游戏开始时，有三堆扑克牌，例如5、7、9张。 2. 玩家轮流进行操作，每次可以选择一堆牌并从中取走任意张数。 3. 游戏的目标是成为最后一个取走牌的人，即当对手无法再进行有效操作时（因所有牌已被取完），则该玩家获胜。 组合游戏是一种具有特定特性的二人游戏，它包含以下几个关键要素： - 双方玩家 - 游戏状态是一个有限的集合，如棋盘上的格子数量 - 轮流操作 - 操作必须遵循预设规则 - 游戏有明确的结束条件，且无论何种操作，游戏最终会在有限次回合后结束 - 游戏中存在必败点（P点）和必胜点（N点） 必败点（P点）是指当前玩家无论怎么操作都会导致对手赢得游戏的位置。相反，必胜点（N点）是下一玩家可以确保获胜的点。关键性质包括： - 所有终结状态都是必败点 - 从必胜点出发，至少有一种方法可以进入必败点 - 在必败点上，无论怎么操作，都会进入必胜点 解决这类游戏的算法通常包括以下步骤： 1. 标记所有终结状态为必败点 2. 标记所有一步操作后能到达必败点的位置为必胜点 3. 如果从某个点出发的所有一步操作都只能进入必胜点，那么该点是必败点 4. 若无新的必败点出现，算法结束；否则，回到步骤2 课程中还提供了其他练习，如Subtraction Games，其中规定了可取的数字集合（如{1, 3, 4}），以及kiki's game等实战练习，帮助学生深入理解和应用Nim游戏的策略。 通过Nim游戏的学习，学生不仅可以掌握基本的博弈论概念，还能锻炼逻辑思维和策略规划能力，这对于计算机科学，特别是算法设计与分析领域非常重要。