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2. 理论分析
2.1 直方图修正技术的基础
一幅给定图像的灰度级经归一化处理后,分布在
0 r 1
范围内。这时可以对[0,1]区间
内的任意一个 r 值进行如下变换:
s T (r)
(1)
也就是说,通过上述变换,每个原始图像的像素值 r 都对应产生一个 s 值。变换函数
T (r)
应
该满足下列条件:
① 在
0 r 1
区间内,
T (r)
是单值单调增加;
② 对于
0 r 1
,有
0 T (r) 1
这里第一个条件保证了图像的灰度级西欧哪个白到黑的次序不变和反变换函数
T (s)
的存在。第二个条件则保证了映射变化后的像素灰度值在允许的范围内。从s 到 r 的反变换
可用式(2)表示,同样也满足上述两个条件
1
r T (s)
(2)
1
由概率论理论可知,若已知随机变量
的概率密度为
P
r
(r)
,而随机变量
是
的函数,
即
T (
)
,
的概率密度为
P
s
(s)
,所以可以由
P
r
(r)
求出
P
s
(s)
。
因为
s T (r)
是单调增加的,由数学分析可知,它的反函数
r T (s)
也是单调函数。
在这种情况下,当
s
,且仅当
r
时发生,所以可以求得随即变量
的分布函数为:
r
1
'
F
(s) P(
s) p[
r]
p (x)dx
(3)
r
对 式 ( 3 ) 两 边 求 导 , 即 可 得 到 随 即 变 量
的 分 布 密 度 函 数
P
s
(s)
为 :
P
s
(s) P
r
(r)
(4)
dr d dr
p
r
(r) [T
1
(s)] [ p
r
(r) ]
r T
1
(s )
T
1
(s)
ds ds ds
由式(4)可知,对于连续情况,设
P
r
(r)
和
P
s
(s)
分别表示原图像和变换后图像的灰度
级概率密度函数。根据概率论的知识,在已知
P
r
(r)
和变换函数
s T (r)
时,反变换函数
2