最小生成树算法详解及C++实现

"本章节主要介绍了图的最小生成树（MST）概念，以及它的应用场景，特别是针对城市公交网建设问题。最小生成树是解决如何用最小代价连接所有点的问题，例如在城市间构建最省钱的高速公路网络。此外，提到了Prim算法作为求解最小生成树的一种方法，该算法通过逐步将最小边权的节点加入生成树来确保总成本的最小化。" 在图论中，最小生成树是一个关键的概念，特别是在优化问题中。一个图的最小生成树是指从图中选取N-1条边，这些边连接了图中的所有N个节点，且这些边的权重之和最小。最小生成树的典型应用是城市公交网建设问题，即如何以最低的费用连接所有城市。在例4-9中，输入包含城市数量、边的数量和每条边的造价，输出则是构成最小生成树的边连接。 Prim算法是求解最小生成树的常见算法之一。它的工作原理可以概括如下： 1. 初始化：设定一个起点（如节点1），其他所有节点的状态设为“蓝点”（未加入最小生成树），它们到起点的边权设为无穷大，起点自身的边权设为0，最小生成树的权值之和（MST）初始化为0。 2. 循环：对于每个未处理的节点（蓝点），找出与已加入最小生成树（白点）相连的边权最小的节点，将其标记为白点，将该最小边权加入MST。 3. 更新：遍历新加入白点的所有相邻蓝点，如果发现更小的边权，更新相应蓝点的最小边权。 4. 这个过程持续进行，直到所有节点都变为白点，此时MST的权值之和即为最小生成树的总成本。 Prim算法的核心在于每次都将最小的边添加到当前的生成树中，以保证总体成本的最优。通过不断迭代，算法最终能够找到一个连接所有节点的最小生成树。 在实践中，Prim算法和其他算法（如Kruskal算法）常被用于解决实际问题，如网络设计、交通规划等，其目标都是在满足连接条件的同时，使总成本达到最低。通过理解和掌握这些算法，信息学竞赛选手和计算机科学的学生能够在解决复杂优化问题时找到有效的解决方案。