Eulerian网格上扩散问题的有限体积方法误差分析
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更新于2024-07-10
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"这篇研究论文主要探讨了在矩形网格上处理界面扩散问题时，采用有限体积方法的误差估计。作者包括Jie Peng、Shi Shu、Hai Yuan Yu等人，分别来自中国湘潭大学、湘潭大学计算与模拟科学工程湖南省重点实验室、广州数据科学广东省工程技术研究中心以及中国工程物理研究院流体力学研究所。文章发表于arXiv平台，编号为arXiv:1609.00827v2，分类为数学数值分析(math.NA)。"
本文的重点是研究有限体积方法在解决具有强不连续性和多材料单元的静态扩散问题中的应用。首先，作者提出了一种基于顶点中心的MACH-like有限体积方法，该方法受到Frese在1987年报告（No.AMRC-R-874）的启发。MACH-like方法因其在处理界面条件和非均匀网格上的优势而被广泛使用。
接下来，论文深入分析了退化五点MACH-like方案的局部截断误差和全局误差估计。局部截断误差是指在单个网格步长内离散化的误差，而全局误差估计则是考虑整个计算域的累积误差。这种误差分析对于理解和改进有限体积方法的精度至关重要。
在界面扩散问题中，由于物质性质在界面处可能存在急剧变化，因此准确地捕捉这些变化对数值模拟的准确性提出了挑战。通过提供误差估计，研究人员可以更好地了解他们的模型在实际应用中的表现，并据此调整算法参数以优化解的精度。
此外，论文可能还涵盖了以下内容：误差来源的分析，如离散化误差、数值稳定性分析、网格不规则性的影响，以及可能的误差减小策略。对于有限体积方法，这通常涉及网格质量的改进、接口处理技术的优化，以及适应性网格细化（AMR）的应用，以在需要更高分辨率的地方集中计算资源。
这篇研究论文为处理具有复杂界面的扩散问题提供了重要的理论基础，对于数值模拟领域的研究者和工程师来说，是理解有限体积方法在实际问题中误差控制和性能优化的关键参考文献。
be obtained from an appropriate average method, such as arithmetic avera ge method, harmonic
average method and so on.
Substituting (2.5) into (2.4), and combining with the proper κ
∗
l
(l = 1, 2, 3, 4), we get the MACH-
like FVM of (2.1) and (2.2) at X
i,j
(i = 1, 2, ··· , N
x
− 1, j = 1, 2, ··· , N
y
− 1).
Remark 2.1. The MACH-like FVM is always a compact nine-point stencil.
In particular, we consider a uniform quadrilateral grid in Ω = (a, b) × (c, d), where
h
x
= (b −a)/N
x
, h
y
= (d − c)/N
y
,
(x
i
, y
j
) = (a + ih
x
, c + jh
y
), i = 0, 1, ··· , N
x
, j = 0, 1, ··· , N
y
.
The MACH-like FVM at any interior node X
i,j
express as follows
a
i,j
1
u
i−1,j−1
+ a
i,j
2
u
i,j−1
+ a
i,j
3
u
i+1,j−1
+ a
i,j
4
u
i−1,j
+ a
i,j
5
u
i,j
+a
i,j
6
u
i+1,j
+ a
i,j
7
u
i−1,j+1
+ a
i,j
8
u
i,j+1
+ a
i,j
9
u
i+1,j+1
= h
x
h
y
f
i,j
, (2.6)
where
a
i,j
1
= −
1
4
(
h
y
h
x
+
h
x
h
y
)κ
∗
1
,
a
i,j
2
= −
1
4
(−
h
y
h
x
+
h
x
h
y
)(κ
∗
1
+ κ
∗
2
),
a
i,j
3
= −
1
4
(
h
y
h
x
+
h
x
h
y
)κ
∗
2
,
a
i,j
4
= −
1
4
(
h
y
h
x
−
h
x
h
y
)(κ
∗
1
+ κ
∗
4
),
a
i,j
5
=
1
4
(
h
y
h
x
+
h
x
h
y
)(κ
∗
1
+ κ
∗
2
+ κ
∗
3
+ κ
∗
4
) + h
x
h
y
,
a
i,j
6
= −
1
4
(
h
y
h
x
−
h
x
h
y
)(κ
∗
2
+ κ
∗
3
),
a
i,j
7
= −
1
4
(
h
y
h
x
+
h
x
h
y
)κ
∗
4
,
a
i,j
8
= −
1
4
(−
h
y
h
x
+
h
x
h
y
)(κ
∗
3
+ κ
∗
4
),
a
i,j
9
= −
1
4
(
h
y
h
x
+
h
x
h
y
)κ
∗
3
,
f
i,j
=
1
h
x
h
y
R
V
i,j
fdX.
(2.7)
Currently, MACH scheme is successfully applied in the numerical simulation of liner implosion
system, plasma thrusters and so on (see, e.g. [23, 2 5, 26]). Howe ver, there is few error theo ries about
this scheme, and it is always for the local truncation error. Especially, the strict error theories for
the stationary diffusion problems with multiple material cells on Eulerian grids haven’t been seen
yet. In the following se ctions, we will establis h a r igorous theo retical a nalysis of the MACH-like
scheme, which is constructed for a simplified model of (2.1) and (2.2).
This simplified mo de l only conside rs two s ubdomains. Suppose that Ω = (0, 1) × (0, 1) = D
1
∪
D
2
∪ Γ and the diffusion coefficient
κ =
κ
−
≥ 1, in D
1
,
1, in D
2
,
(2.8)
where D
1
= (0,
1
2
) × (0, 1), D
2
= (
1
2
, 1) × (0, 1) and κ
−
is a po sitive constant.
In addition, we assume that Q
h
is a square mesh of Ω, where N
x
= N
y
= N = 2M +1(M ∈ Z
+
),
h
x
= h
y
= h, introduce the grid nodes and the interior nodes indicated set S = {(i, j), i, j =
0, 1, ··· , N } and S
0
= {(i, j), i, j = 1, 2, ··· , N − 1}. Let the indicated set of the interior nodes
which are adjacent to the interface or not be
S
B
= S
B
1
∪ S
B
2
and S
I
= S
I
1
∪ S
2
2
, (2.9)
5
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