ACM算法模板：最小树形图详解

"最小树形图-云计算解码（第2版），ACM常用算法模板" 在给定的信息中，我们关注的是"最小树形图"这个主题，它通常指的是求解最小生成树的问题，这是一种经典的图论算法。在这个问题中，我们给定一个加权无向图，目标是找到一个边的子集，这些边连接了所有的顶点，并且这个子集的总权重尽可能小。最常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。 1. 最小生成树： - Prim算法：从任意一个顶点开始，逐步添加边，每次添加一条与当前树连接的新顶点，并且权重最小的边，直到所有顶点都被包含在内。 - Kruskal算法：按照边的权重从小到大排序，然后依次考虑每条边，如果这条边连接的两个顶点不在同一个连通分量中，就将这条边加入到结果集中。 在提供的代码中，`zhuliu`函数似乎是在实现一个最小树形图的算法。变量`pre`记录前驱节点，`id`可能表示找到的边的ID，`visit`标记节点是否已经被访问过，`in`可能是用来计算每个节点的最近到达时间，这在Prim算法中常见。`kuangbin`可能是一个程序员的名字，他分享了自己的ACM算法模板。 2. ACM常用算法模板： - 字符串处理：包括KMP算法、e-KMP、Manacher算法、AC自动机、后缀数组、后缀自动机和字符串Hash等，这些都是字符串匹配和处理的常用工具。 - 数学：涵盖素数筛选、扩展欧几里得算法、求逆元、模线性方程组、随机素数测试、欧拉函数、高斯消元、FFT（快速傅里叶变换）、整数拆分、莫比乌斯反演、原根、快速数论变换等，这些都是在数论和计算几何中常见的算法。 3. KMP算法：是一种线性时间复杂度的字符串匹配算法，避免了冗余回溯，提高了效率。 4. Manacher算法：用于解决中心对称串的最长回文子串问题，可以在线性时间内找到答案。 5. 扩展欧几里得算法：不仅可以求出最大公约数，还能求出一组解使得`ax + by = gcd(a, b)`。 6. 模线性方程组：在模运算下求解线性方程组，常用于数论问题和密码学中。 7. 高斯消元法：用于求解线性方程组，包括浮点数的高斯消元和快速高斯消元（如高斯-约当消元法）。 8. FFT：快速傅里叶变换，用于快速计算离散傅里叶变换和其逆变换，广泛应用于信号处理、图像处理等领域。 这些算法都是在算法竞赛（如ACM/ICPC）和实际编程中非常重要的基础工具，熟练掌握它们能有效提高解决问题的能力。