中科大软件学院形式化方法:lists章节natprod证明与性质
在中科大软件学院的形式化方法作业中,涉及到Lists章节的学习,该章节主要探讨了自然数对和列表操作的一些基础概念与证明技巧。主要内容包括: 1. **类型定义**: - `natprod`类型被定义为一个表示两个自然数的结构,如 `pair:nat->nat->natprod`,其中 `pair35` 是一个具体示例,其类型为 `natprod`。 - 定义了 `fst` 和 `snd` 函数,分别用于提取 `natprod` 中的第一个和第二个自然数:`fst(p:natprod):nat` 和 `snd(p:natprod):nat`。例如,`Evalcomputein(fst(pair35))` 表达的是计算 `pair35` 的第一个元素。 2. **记号和表示法**: - 使用记号 `(x,y)` 表示 `pairxy`,这是一种简洁的表示自然数对的方式。 - `fst'(p:natprod)` 和 `snd'(p:natprod)` 作为变体,定义了不带括号的形式提取自然数。 3. **函数交换性证明**: - **Theoremsurjective_pairing'**:这个定理表明,对于任何两个自然数 `n` 和 `m`,它们可以通过 `pair` 函数构成一个自然数对 `(n,m)`,且这对可以唯一还原为原始的 `n` 和 `m`。证明方法是利用反射性(reflexivity)。 4. **部分证明失败与修正**: - `Theoremsurjective_pairing_stuck` 的尝试性证明由于简化 (`simpl`) 后未能得出结论而中断 (`Abort`)。这可能暗示在当前状态下,需要进一步的推导或条件检查。 - **Theoremsurjective_pairing** 成功地证明了相同的命题,但采用了引入变量 `sp` 并进行模式匹配 (`introsp`, `destructpas`) 的策略,以确保完全证明了对所有 `natprod` 的适用性。 5. **函数交换性质的其他证明**: - **Theoremsnd_fst_is_swap** 证明了 `sndp` 和 `fstp` 在 `swap_pair` 下交换,即 `(sndp, fstp) = swap_pair(p)`。 - **Theoremfst_swap_is_snd** 显示 `fst` 应用在 `swap_pairp` 上等于原 `sndp`,即 `fst(swap_pairp) = sndp`。这部分依赖于模式分解和反射性 (`simpl.reflexivity`) 来完成证明。 这些定理和证明展示了形式化方法在处理数学性质以及计算机科学中的数据结构(如自然数对)时的应用,强调了逻辑推理和精确性的核心价值。学生通过这些练习熟悉了形式化语言在证明理论上的运用,并加深了对函数和类型定义的理解。
Require Export Induction.
Module NatList.
Inductive natprod : Type :=
pair : nat -> nat -> natprod.
Check (pair 3 5).
Definition fst (p : natprod) : nat :=
match p with
| pair x y => x
end.
Definition snd (p : natprod) : nat :=
match p with
| pair x y => y
end.
Eval compute in (fst (pair 3 5)).
Notation "( x , y )" := (pair x y).
Eval compute in (fst (3,5)).
Definition fst' (p : natprod) : nat :=
match p with
| (x,y) => x
end.
Definition snd' (p : natprod) : nat :=
match p with
| (x,y) => y
end.
Definition swap_pair (p : natprod) : natprod :=
match p with
| (x,y) => (y,x)
end.
Theorem surjective_pairing' : forall (n m : nat),
(n,m) = (fst (n,m), snd (n,m)).
Proof.
reflexivity. Qed.
Theorem surjective_pairing_stuck : forall (p : natprod),
p = (fst p, snd p).
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