Hausdorff局部凸空间中集值映射的ε-强次微分及其在约束优化中的应用

"集值映射的ε-强次微分及应用 (2013年) - 本文档探讨了在Hausdorff局部凸拓扑向量空间中的集值映射ε-强有效次微分的概念，并利用凸集分离定理证明了其存在性定理。同时，它还研究了这一理论在约束集值优化问题中的应用，给出了Lagrange乘子形式下的最优性必要条件。" 集值映射是数学中的一种特殊函数，它不是将一个元素映射到单个值，而是映射到一个值的集合。在多目标优化、决策理论和控制理论等领域，集值映射扮演着重要角色。ε-强次微分是分析集值映射性质的一个工具，特别是在非光滑优化中，它提供了一种理解和处理不连续或非凸优化问题的方法。 在Hausdorff局部凸拓扑向量空间中，这个概念被引入是为了更好地刻画集值映射的局部行为。Hausdorff拓扑保证了空间的分离性，而局部凸性则确保了空间的一些局部性质类似于欧几里得空间。ε-强有效次微分是对集值映射局部性质的强化，它考虑了ε邻域内的变化，并且在某些条件下，可以通过凸集分离定理来证明其存在性。凸集分离定理是线性代数和凸分析中的一个重要结果，它能区分两个不相交的凸集。 文章的作者通过应用凸集分离定理，证明了在特定环境下集值映射ε-强有效次微分的存在性定理。这意味着对于满足这些条件的集值映射，总能找到一个ε-强次微分，这有助于分析映射的局部性质和优化问题的解决方案。 作为理论的应用，作者讨论了约束集值优化问题，这是在实际问题中常见的类型。他们提出了ε-强有效解的最优性必要条件，这通常涉及到Lagrange乘子法。Lagrange乘子是一种在解决有约束的优化问题时引入的辅助变量，它使得原问题可以通过无约束的拉格朗日函数来求解。通过ε-强次微分，作者能够以Lagrange乘子的形式表述约束集值优化问题的最优性条件，这对于实际问题的求解和理论研究都具有重要意义。 关键词：ε-强有效性，次微分，Lagrange乘子，最优性条件。这些关键词揭示了文章的主要研究方向，包括非光滑优化中的次微分理论，以及这些理论在处理有约束优化问题时与Lagrange乘子的结合应用。 这篇文章对集值映射的ε-强次微分做了深入研究，并将其应用于约束集值优化问题，为理解和解决这类问题提供了新的视角和方法。