新算法解决工程设计中的不定二次规划问题

本文主要探讨的是不定二次规划的全局求解问题，针对工程设计、设施布局等实际应用场景中的这类非凸优化问题，提出了一种新颖的全局优化算法。在解决过程中，作者利用了二次函数的特性，特别是线性松弛化技巧来处理问题。具体步骤如下： 1. **问题转化**：首先，针对不定二次规划问题（记作问题(P)），其形式为min f(x) = xᵀQx + cᵀx，其中约束条件包括Ax ≤ b，x ∈ X（X为定义域，O={x ∈ R^n | x ≤ z, x ≥ 0}）。为了求解，论文将原问题转化为一系列线性规划问题。 2. **线性松弛**：通过构建QiX，作者构建了2n个线性规划子问题，每个子问题分别对应Q矩阵的一行。子问题的目标是找到局部最优解，即找到满足约束条件时 QiX 的最小值和最大值，同时保持原问题的变量限制。 3. **分支定界**：利用这些子问题的解作为线索，算法通过分支定界策略进行全局搜索。这意味着通过不断细分搜索空间，直至找到原问题的全局最优解。每次迭代都会选择一个最优的线性规划解，并通过比较其与原问题的差距来决定下一步的搜索方向。 4. **收敛性证明**：理论分析部分，作者证明了该算法具有收敛性，即随着子问题的逐步解决，算法能够逼近原问题的全局最优解，这确保了算法的有效性和可靠性。 5. **实践验证**：数值算例部分展示了该算法的实际应用效果，证明了算法在解决不定二次规划问题上的有效性和可行性。通过对比，算法的结果不仅找到了局部最优解，而且在某些情况下可能找到全局最优解，这在非凸优化问题中尤为关键。 6. **研究背景与意义**：不定二次规划在多个领域有广泛应用，包括整数线性规划和整数二次规划等。解决这类问题对于理论研究和实际工程问题的解决都具有重要意义，因为许多实际问题都可以转化为非凸二次规划的形式。 这篇论文提供了一个创新的求解不定二次规划全局优化的方法，它结合了线性松弛技术和分支定界策略，有效地解决了这类问题的求解难题，为实际问题的求解提供了新的思路和工具。