掌握随机过程全攻略：概念、分布与数字特征详解

随机过程知识点全面汇总涵盖了随机过程理论的核心内容，从随机变量的基础概念到随机过程的具体应用。以下是详细概述： 第一章：随机过程的基本概念与基本类型 1. 随机变量及其分布 - 离散型随机变量：用分布列表示概率，如伯努利分布，其概率分布函数P(X=k)。连续型随机变量如标准正态分布，用概率密度函数f(x)和分布函数F(x)刻画。 - n维随机变量：包括联合分布函数，其性质如对称性和相容性。离散型有联合分布列，连续型有联合概率密度。 - 数字特征：数学期望，如离散型E(X)和连续型∫xf(x)dx；方差衡量随机变量的离散程度，协方差和相关系数描述随机变量间的关系。 2. 特征函数 - 对于离散随机变量，特征函数是∑ exp(j•u•k)P(X=k)，连续型则为∫ exp(j•u•x)f(x)dx。重要性质包括收敛性、周期性、导数与原函数关系等。 3. 常见随机变量举例 - 0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的分布列、概率密度和数字特征都有具体计算公式。 4. N维正态随机变量 - 联合概率密度函数由多变量正态分布确定，与协方差矩阵相关，特别是当协方差矩阵为正定时，随机变量间具有独立性。 第二章：随机过程的分布律和数字特征 1. 一维、二维分布函数和概率密度 - 求解随机过程在不同时间点或时间间隔上的分布情况，包括单个随机变量的分布和随机过程的联合分布。 2. 数字特征 - 均值函数mx(t)，描述随机过程随时间变化的平均行为；方差函数Dx(t)、协方差函数Cx(t1,t2)和相关函数Rx(t1,t2)刻画其随时间和空间的波动性；特征函数用于快速计算数字特征。 第三章：平稳随机过程 1. 定义与判断 - 宽平稳随机过程是指其统计特性只依赖于时间差，而不依赖于绝对时间点。 2. 相关函数性质 - 平稳过程的相关函数具有时间平移不变性，对于所有τ，Rx(t,t+τ)是常数。 3. 谱分析 - 平稳过程的谱密度定义及其与能量、平均功率的关系，谱密度的解析性是分析的关键。 - 通过傅里叶变换，谱密度与相关函数之间存在直接联系。 第四章：随机过程在系统中的应用 - 当输入X(t)是平稳过程时，输出Y(t)的特性可以通过线性系统分析得到： - 均值函数my(t)受系统函数h(t)影响； - 相关函数Ry(t,t+τ)由输入的相关函数和系统函数共同决定。 这个知识点总结涵盖了随机过程的基础理论，从单个随机变量到随机过程的高级概念，以及在实际问题中的应用，为学习者提供了深入理解和解决相关问题的强大工具。