强自适应方法的动态 regret 分析：在线 KRR 的最优策略

本文主要探讨了非stationary在线凸优化框架中的动态后悔问题，特别是针对强自适应（Strongly Adaptive, SA）算法在控制动态后悔方面的理论。动态后悔是衡量在线学习算法在面对非stationary环境时，相对于任意序列比较器（comparator sequence）在时间维度上的性能差距。当损失函数具备强凸性或指数凹性时，作者证明了SA算法具有明确的动态后悔下界。 对于强凸损失函数，SA算法能够保证动态后悔为$O(\sqrt{T V_T \lor \log T})$，其中$T$表示时间步数，$V_T$表示比较器序列的路径变异量。这一结果表明，即使在缺乏对$V_T$先验知识的情况下，SA算法也能提供有效且合理的动态后悔控制。这展示了SA算法在处理非stationary问题时的强大适应性和灵活性。 此外，论文还扩展到了线性预测器的约束下，证明了SA方法在学习过程中可以应对具有界限的线性模型。这一部分显示了算法在实际应用中的普适性，因为它不仅适用于严格的数学性质，也适用于更广泛的预测场景。 对于指数凹损失函数，作者同样给出了相应的动态后悔上界，即$O(\sqrt{d T V_T \lor d \log T})$，其中$d$是特征维度。这个结果强调了算法在高维空间中的表现，表明它在数据集规模较大或维度较高时仍能保持良好的性能。 在线岭回归（Kernel Ridge Regression, KRR）是文中另一个关键研究点，特别是在使用高斯核的情况下。作者通过引入在线学习的方法，探究了如何在保持学习效率的同时，处理非stationary环境中的非线性关系。这不仅扩展了SA算法的应用范围，也为理解在线学习在非线性问题中的动态性能提供了新的见解。 本论文深入分析了强自适应方法在动态后悔控制中的理论基础，并展示了其在不同场景下的优化性能。这些发现不仅为设计和评估在线学习算法提供了理论指导，也为实际应用中的非stationary问题解决策略开辟了新途径。