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函数 ),,1,0( ni L= 。
)(xI
n
可以表示为
∑
=
=
n
i
iin
xlyxI
0
)()(
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=∈
−
−
=∈
−
−
=
+
+
+
−
−
−
其它
时舍去
时舍去
,
)(,
)
0
],[
0( ],[ ,
)(
1
1
1
1
1
1
nixxx
xx
xx
ixxx
xx
xx
xl
ii
ii
i
ii
ii
i
i
)(xI
n
有良好的收敛性,即对于
],[ bax
有,
)()(lim xfxI
n
n
=
∞→
。
用
)(xI
n
计算
点的插值时,只用到
左右的两个节点,计算量与节点个数
n
无关。
但
n
越大,分段越多,插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就
足够了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。
1.3.3 用 Matlab 实现分段线性插值
用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函
数 interp1。
y=interp1(x0,y0,x,'method')
method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
'nearest' 最近项插值
'linear' 线性插值
'spline' 逐段 3 次样条插值
'cubic' 保凹凸性 3 次插值。
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
'*spline'、'*cubic'。
1.4 埃尔米特(Hermite)插值
1.4.1 Hermite 插值多项式
如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一
阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值
函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。
设已知函数
)(xfy
在 1+n 个互异节点
n
xxx ,,,
10
L 上的函数值 )(
ii
xfy =
),,1,0( ni L= 和导数值 )(''
ii
xfy = ),,1,0( ni L
,要求一个至多 12
n 次的多项式
)(xH ,使得
ii
yxH =)(
ii
yxH ')(' =
),,1,0( ni L
满足上述条件的多项式
)(xH 称为 Hermite 插值多项式。
Hermite 插值多项式为