推广n维Euler不等式：单形的几何研究

"这篇论文主要研究了n维欧氏空间中n维单形的外接球半径与内切球半径之间的关系，并推广了Euler不等式和Veljan-Korchmaros不等式，建立了更强的几何不等式。作者通过几何不等式理论与解析方法，对多维空间中的几何特性进行了深入探讨。" 本文的核心内容是n维几何不等式的研究，特别是针对n维欧氏空间En中的单形。Euler不等式在二维和三维空间中是一个经典结果，它涉及到一个几何图形（如三角形）的外接圆半径R与内切圆半径r的关系，即R≥2r。在三维空间中，这个不等式被推广为Euler不等式，表示为R≥3r，其中R和r分别代表单形（这里指多面体）的外接球半径和内切球半径。 作者杨世国在论文中进一步将这个不等式推广到了n维空间，得出了n维Euler不等式R≥nr，这扩展了我们对高维几何形状的理解。同时，他还研究了Veljan-Korchmaros不等式，这是由Veljan在1970年提出的，涉及到n维单形的棱长和体积的关系。论文证实了这个猜想，并建立了比原不等式更强的版本。 除了这些推广的不等式，论文还探讨了其他与单形相关的不等式。例如，文献中提到了一个与棱长相关的常数，以及不等式R≥nr+，其中'表示与单形的几何特性相关的量。这些不等式对于理解高维空间中几何图形的性质及其相互关系具有重要意义。 论文还提到了单形的外心、重心和内心的概念，这些都是几何分析中的基本概念。外心是所有边界点到单形最远点的平均位置，重心是所有顶点的平均位置，而内心则是内切球的中心。这些中心点与单形的外接球半径和内切球半径有着紧密的联系，它们的性质在证明不等式时起到了关键作用。 这篇论文在n维几何不等式领域做出了显著的贡献，不仅拓展了已有的理论，还为未来的研究提供了坚实的基础。通过深入分析和推导，作者揭示了高维欧氏空间中单形内在的几何关系，这些成果对于数学、物理学乃至工程领域的许多问题都有潜在的应用价值。