"这是一份关于命题逻辑的教学课件,由周晓聪教授在计算机科学系制作。内容涵盖了命题逻辑的基础知识,包括命题的定义、符号化方法、命题公式的真值、等值演算、联结词的完备集、命题逻辑公式的不同范式以及基于命题逻辑的推理方法。"
在数学逻辑中,命题逻辑是逻辑学的一个分支,主要研究由简单命题通过逻辑联结词组合而成的复合命题的结构及其真假性质。这份教学课件由周晓聪教授,来自计算机科学系,提供了深入学习命题逻辑的框架。
1. 命题及其符号化:在命题逻辑中,一个命题是一个可以被判断为真或假的陈述。这些陈述可以是原子命题,即无法进一步分解的命题,也可以是复合命题,由若干个命题通过联结词(如“与”、“或”、“非”等)组合而成。为了便于处理,命题通常用小写字母作为变量来表示。
2. 命题公式及其真值:命题公式是由命题变量和联结词构成的逻辑表达式,它们有确定的真值。真值表是一种表示所有可能命题变量组合对应命题公式真值的方法,对于每个不同的变量取值组合,都可以确定公式是真还是假。
3. 等值演算:等值演算涉及使用基本的逻辑等值公式(如德摩根定律、分配律等)来简化或变形命题公式,而不改变其真值。这有助于理解和证明两个命题公式在逻辑上是否等价。
4. 联结词的完备集:完备集是指一组联结词,通过它们的组合可以构造出任何可能的真值函数。例如,包含“与”、“或”和“非”的集合就是一个常见的完备集。极小完备集是最小的这样的集合,可以表示所有可能的命题函数。
5. 命题逻辑公式的范式:析取范式(DNF)和合取范式(CNF)是命题逻辑公式的重要形式,分别表示为所有可能真子句的析取(“或”)和所有可能假子句的合取(“与”)。主析取范式和主合取范式是特殊的DNF和CNF,其中每个子句都只含有一个主联结词。
6. 推理:基于命题逻辑公式的推理涉及使用推理规则(如蕴含推理、归谬法等)从一组前提推出新的命题。这是逻辑系统中证明理论和自动推理的基础。
通过学习这些概念,学生能够理解命题逻辑的基本框架,掌握如何分析和操作命题公式,以及进行逻辑推理,这些都是计算机科学、人工智能和哲学等领域的重要基础。周晓聪教授的课件提供了一个系统性的学习路径,有助于深入理解命题逻辑的理论和应用。