动态规划详解：最优化原理与应用

"第二阶段最优决策表-动态规划若干问题" 动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，由贝尔曼在20世纪50年代提出。它关注的是以长远利益为目标的一系列决策，旨在通过最优化原理找到全局最优解。动态规划的核心思想是将复杂的问题分解成一系列阶段，每个阶段都有自己的状态和决策，然后通过递推公式来逐步求解。 在动态规划中，我们首先确定问题的阶段和编号，通常采用反向递推，即从最终阶段开始向前推导。接着，我们要定义状态变量，这些变量能够描述问题在某一阶段的状态。例如，在库存管理问题中，库存量就是一个状态；在最短路径问题中，各个节点是状态。此外，还需要确定决策变量，比如在最短路径问题中，选择哪条路径是决策；在生产库存问题中，各阶段的生产量是决策。 状态转移方程描述了从一个阶段到下一阶段状态的变化，例如在描述中的 "s2=s3+x3-7≥2 及 x3≤10"，表示库存量 s2 在第三阶段如何转移到第四阶段 s3，同时考虑了决策变量 x3（可能的库存增量）的影响。通过这些方程，我们可以限制决策的范围，如 x3 属于 [0,4]。 阶段效果递推公式用于计算从当前阶段到目标阶段的总效果，如 "f3(1,10)=d3(1,10)+f2*(4,8)"，表示第三阶段在特定状态下的最优效果是基于前一阶段的最优效果。在这个例子中，f3 是第三阶段的总效果，d3 是直接效果，f2 是第二阶段的最优效果。 最优决策表是动态规划的一个重要工具，它记录了每个阶段每个可能状态下的最优决策。例如，描述中提到的 "得第三阶段最优决策表"，列出了在不同状态下的最优决策和相应的总效果。这样，我们可以通过反向填充决策表，从最后阶段逐渐向前，直到找到初始阶段的最优解。 动态规划的一个关键特性是"最优子结构"，这意味着一个问题的最优解包含其子问题的最优解。这体现在"不要过河拆桥"的原则，即最优策略的一部分也是最优的。因此，我们可以从目标阶段开始，利用标记法（如反向搜索）逐步找出整个问题的最优解。 动态规划广泛应用于各种领域，如物流、生产计划、资源分配、网络路由等。通过理解和应用动态规划，我们可以有效地解决那些具有重叠子问题和阶段性特征的复杂优化问题。