三角级数之和的简明求法与错误纠正 - CSDN文库

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关于一些三角级数的和

57

zm(2k-

以=仨阳

x)

- 0

2:r

(x

叫]

(2.22a)

2;(-

俨

sin

(2k-

山=÷巾2:r

(x+

号)

- Oh

(x-

号

)J

(2.22b)

这里必须指出，

(2.22a)

也可以从土

(A

1

+A3)

求得

3

同时，把

(2.22a)

式中的

x

用(

x

+立)

2

飞

21

代替后，化简也可以求得

(2.22b)

式。这就用另一方式求证了

(2.16)

一

(2.19)

。当然，它

们还可以把

(2.16)

一

(2.19)

式右端诸函数用傅里叶级数展开式展开成三角级数，从而来证

明

(2.16)

一

(2.19)

诸式的正确性。

应该指出萨叶兹杰尼也求得了

(2.16)

一

(2.19)

式的结果，即

m

=2,

5=1

的特殊情

况下的

(2.12)

一

(2.15)

式的结果(见

[2J

，

349

页和

350

页的

AA3

，

AA4

,

AA7

,

AA8

诸

式)

，但是，在

(2.22

吟，

(2.22b)

式的右端都丢掉了去这个因子，这显然是错误的。

"'"' 1

cos

运气

(-1)

1r.

+1

二、主'f

mk

:f: s

~i~

(mk

:f:

s)

卫'主

mk

土

s

si;(IIIkh

〉

x

之和

(s

斗

mt

，

t=O

, 1, 2…)

10;

吟于

c1

巳

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儿

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。置

d

出'

55

中

mmc

1-21-2

」，

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飞

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UD

士在

m-2m-25

，，，，、飞

f''

自飞、

AHH

Mω

定

SIca

待

rJvfJ

陡

1-21-2

啤

乱卜卜创

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Md"

的山呻数

m-mA

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分

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mm

积

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川军

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t

卫=芋'

四川

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主

1

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54

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F

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一、

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唰阳

"

Fmld

本把

"τ

台

7

得

出

t

，

其零

0=

r

o

绍叫

3

且

h

川舅(仙虹

m

时

l

唁

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sg

dg-

~

r

O

sin(

旦土

s

斗

);csec~

叫

d;+C

巳

(α3

轧

3.2

纱

>

J

"1

2 J

"1\

2-/~----2

从

(3.1a)

中减去

(3.2)

式，消去了

C

1

和

r

l)

得

22si

…

Es~=J>

Z:

0

2:r

(ms)cos

s;

d;-

!

r:sin(~

:f:

s)

~~~~/A

J

馆。2:r

(ms)cos

s;

d;

-

~

\

sin(

一士

s);csec

一时也

(3.3)

\'"，，

1

土

J

0 2 J

0

飞

2

--,

(3.3)

即当

m

，

s

为任意正整数时的表达式。

把

(3.3)

式中的

x

置于去，即得

S

冗￡飞

(-1)

1:

_

fτ1

r

m-

.

1m

飞

一一三

Jτ

丁-

I

一=，

叫2:r

(ms)

cos

ss

d;

一

τ

，

-

sin(

一士

s

)S

csec

~

m;d;

m~m

民工

s

Jo

2Jo

飞

2

- /

(3.4)

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