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首页三角级数之和的简明求法与错误纠正
"这篇论文主要探讨了三角级数的和,涉及一些著名的且在科学与工程计算中重要的级数表达式。作者钱伟长通过使用简单的函数方法求解了这些三角级数,其中包括对特维列金(1953)和萨叶兹杰尼(1961)先前公布结果的纠正,指出他们的结果存在错误。文章指出,三角级数在力学、电磁学和电信计算等领域有广泛应用,尤其是在处理周期性现象时。 三角级数在解决线性常系数微分方程的边界值问题中起到关键作用。尽管在理论和实践中积累了大量经验,但在实际求和过程中仍面临挑战,比如某些级数虽然理论上收敛但速度极慢,或者形式上不收敛。此外,用有限项近似整个级数可能导致吉布斯现象,在不连续点附近产生误差。 随着高速电子计算机的发展,计算能力的进步使得处理收敛慢的级数成为可能,但设计参数对计算结果的影响以及优化设计参数的问题仍然突出。这些问题在多参数的情况下尤为复杂,单纯依赖数值解的计算机求和方法并不能充分解决实际技术问题。因此,寻求更简便的求和方法成为了必要的研究方向。"
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关于一些三角级数的和
57
zm(2k-
以=仨阳
x)
- 0
2:r
(x
叫]
(2.22a)
2;(-
俨
sin
(2k-
山=÷巾2:r
(x+
号)
- Oh
(x-
号
)J
(2.22b)
这里必须指出,
(2.22a)
也可以从土
(A
1
+A3)
求得
3
同时,把
(2.22a)
式中的
x
用(
x
+立)
2
飞
21
代替后,化简也可以求得
(2.22b)
式。这就用另一方式求证了
(2.16)
一
(2.19)
。当然,它
们还可以把
(2.16)
一
(2.19)
式右端诸函数用傅里叶级数展开式展开成三角级数,从而来证
明
(2.16)
一
(2.19)
诸式的正确性。
应该指出萨叶兹杰尼也求得了
(2.16)
一
(2.19)
式的结果,即
m
=2,
5=1
的特殊情
况下的
(2.12)
一
(2.15)
式的结果(见
[2J
,
349
页和
350
页的
AA3
,
AA4
,
AA7
,
AA8
诸
式)
,但是,在
(2.22
吟,
(2.22b)
式的右端都丢掉了去这个因子,这显然是错误的。
"'"' 1
cos
运气
(-1)
1r.
+1
二、主'f
mk
:f: s
~i~
(mk
:f:
s)
卫'主
mk
土
s
si;(IIIkh
〉
x
之和
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mt
,
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吟于
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儿
UOB+
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55
中
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」,
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飞
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士在
m-2m-25
,,,,、飞
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陡
1-21-2
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吊
川
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积
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唰阳
"
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7
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,
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3
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m
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l
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r
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旦土
s
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3.2
纱
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J
"1
2 J
"1\
2-/~----2
从
(3.1a)
中减去
(3.2)
式,消去了
C
1
和
r
l)
得
22si
…
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0
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J
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(ms)cos
s;
d;
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~
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一士
s);csec
一时也
(3.3)
\'",,
1
土
J
0 2 J
0
飞
2
--,
(3.3)
即当
m
,
s
为任意正整数时的表达式。
把
(3.3)
式中的
x
置于去,即得
S
冗£飞
(-1)
1:
_
fτ1
r
m-
.
1m
飞
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Jτ
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I
一=,
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(ms)
cos
ss
d;
一
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,
-
sin(
一士
s
)S
csec
~
m;d;
m~m
民工
s
Jo
2Jo
飞
2
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(3.4)
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58
清华大学学报
2n
这里必须指出
ð
2
,,
(mx)
在
o<x<
一一之间,但等于零,同时鸟儿
。)等于无穷大,而
m
且根据。
2
,,
(mx)
的特性
z
J
了严
πd
叽吭圳
6ιι
以
zμ
川,沃刷〈仙
ωωm
叫咄
g)ω)
J 0 2 J
0_
(3.5)
于是,
(3.4)
式可以简化为
立(
-1)1<一士绍
S
绍
~
~~~~
sn
fτ
1
m
飞
一-一一一一
一
-csec
一一平去
csec
一.:.::...-
,
sin(
一土
s)
g
csec
~
mgdg
K=IInk
土
s
-2m----
m
----
m
Jo
\2
- /
(3.6)
在
(3.ω
式中,把
x
置于去,得
孚国上学=平
fτ
炬。
ZR(IEOsinSHE-4
「
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旦土
s)g
…
4
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士
S
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J
1'
2\~
I
~
(3.7)
从
(3.1h)
式中减去
(3.7)
式,即可消去
C
2
和
ru
有
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cos(mk
士
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士
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1-2
(3.8)
毛(
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)1<
把
(3.6)
式代人
(3.8)
式,消去主
;1
旺了,即得
←叫
mk
士
s)~=
土工叫卫平
ictgizfsin
旦土
s)
g
…旦
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平
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T
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士
s
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0
飞
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飞
m
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一土
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(3.9)
J
~
-u
,---~,
----
2 J
~\2
- / ~ 2
。
.9)
式即为三
Um(
叭土
s
汩的和的表达式。其中
m
,
s
为任意正整数,我们现将把
(3.3)
,
。
.9)
式进一步简化。
(3.3)
式和
(3.9)
式中都有一个阶梯形积分,它们都还能进一步简化。因为
s:
叫认
mg)
ωsgdg=
去十去
(cos
等十
ωs
等+…J
乎)
J
二
nð
z..
(mg)
叫
[争
<x<
号与,内,从...
]
(3.10)
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