小波分析入门：从多分辨到稀疏表示

"小波分析导论-稀疏表示，多分辨分析与小波正交基，1986年S.Mallat的工作" 本文主要介绍的是小波分析这一信号处理领域的核心概念，特别是多分辨分析和小波正交基。小波分析是一种强大的数学工具，它结合了时间和频率分析的优势，能够对信号进行有效的稀疏表示，从而更好地理解和处理信号中的信息。 1. **多分辨分析** 是小波理论的基础，由S.Mallat在1986年提出。这一分析方法允许我们以不同分辨率来观察信号，从全局概览到局部细节，提供了层次化的信息解析。多分辨分析的核心是通过一系列高斯型函数的尺度变化（也称为父函数或母小波）来构建小波基，这些小波基在不同的尺度上能够捕捉信号的不同特性，使得信号在时间和频率上同时具有局部性和精确性。 2. **小波正交基** 是小波分析中的关键元素，是一组正交函数，用于构成信号的分解框架。它们能够在不同的尺度和位置上表示信号，形成一个完整的基，任何连续或离散的信号都可以表示为这些小波基的线性组合。这种表示方式特别适合于处理非平稳信号，因为它可以在不牺牲时间分辨率的情况下提高频率分辨率，反之亦然。 3. **稀疏表示** 是信号分析的核心目标。通过找到适当的基，信号可以被表示为少数几个大系数和大量小系数的组合，这样的表示被称为稀疏。稀疏表示有助于简化信号的处理，比如在图像压缩、噪声去除、特征提取等方面。JPEG2000与JPEG的比较就是一个例子，前者利用离散小波变换（DWT）实现了更优的图像压缩质量，因为它能更好地保留图像细节，并实现稀疏表示。 4. **常见的信号分析方法** 包括时域分析、频域分析、时间-频率分析和时间-尺度分析。时域分析直接观察信号随时间的变化，而频域分析则揭示信号的频率成分。时间-频率分析（如短时傅里叶变换）和时间-尺度分析（如小波变换）则是为了克服时域和频域分析的局限，提供一种同时考虑时间和频率的手段。 5. **信号处理流程** 通常包括信号分析、编码、特征提取等步骤，最终可能涉及信号的恢复或合成。信号分析的目标是找到最佳的表示方式，使得后续处理更为高效。例如，通过稀疏表示，可以更容易地识别出信号中的关键特征，这对于信号分类、模式识别等任务至关重要。 小波分析提供了一种强有力的工具，尤其在多分辨分析和小波正交基的支持下，能够实现信号的高效、稀疏表示，对于信息提取和信号处理具有重大意义。这种理论在工程、物理、生物医学等多个领域都有广泛的应用。