坐标规则动态规划：拾垃圾机器人与矩阵取数游戏

"这篇资源主要讨论了两种类型的坐标规则型动态规划问题，分别是机器人拾垃圾问题和矩阵取数游戏。这些问题都涉及到二维平面上的路径规划和优化策略，并且可以通过动态规划方法解决。" 在“向上的三角形”问题中，我们面对的是一个构建三角形的最大高度的问题。这个问题的描述指出，三角形的顶点坐标为(i,j)，其最大高度F(i,j)可以通过以下规则计算：F(i,j)=MIN{F(i-1,j-1),F(i-1,j+1)} +1，条件是顶点(i-1,j)处的字符C[i-1,j]为'-'，表示这个位置的三角形未被破坏。这种动态规划的状态转移方程体现了问题的递归特性，即当前状态依赖于其相邻的子状态。 接着，我们转向“机器人拾垃圾”问题。在这个场景中，一个机器人需要在n*m的棋盘上拾取垃圾，从左上角出发，每次只能向右或向下移动。目标是确定机器人在拾取最多垃圾的情况下的行走方案数量。这里也使用动态规划，定义F(i,j)为到达(i,j)时最多拾取的垃圾数。状态转移方程为F(i,j)=Max{f(i-1,j),f(i,j-1)}+c[i,j]，其中C[i,j]=1表示(i,j)有垃圾，0表示没有。同时，还定义了G[i,j]来表示达到最大垃圾数f(i,j)的方案数，通过累加从两个方向过来的方案数来计算。 接下来的矩阵取数游戏是另一个动态规划应用的例子。玩家需要按照特定规则从每一行取数，以最大化总得分。每次取数的得分与取数的位置（行首或行尾）以及取数的次数有关。动态规划可以用于找到最优的取数顺序，以最大化最终得分。在给定的样例中，展示了如何计算最优得分的过程，并给出了不同取数情况下的得分。 这些题目共同展示了动态规划在解决涉及二维网格和最优化问题中的应用。它们要求根据当前状态和相邻状态的关系来构建解决方案，并且通常具有明确的递归结构。在实际编程中，这些问题可能需要使用C++等编程语言进行实现，而NOI导刊和PPT标签则表明这是面向信息学竞赛或相关教育场景的资料。