吴受章最优控制讲授提纲：时间最优控制性质探索

"最优控制系统的性质-吴受章最优控制讲授提纲" 本文主要讨论了时间最优控制系统的特性，这是最优控制理论中的一个重要主题。在吴受章的《最优控制理论与应用》一书中，这一内容被详细阐述。最优控制是控制理论的一个分支，其目标是寻找能够使某个性能指标达到最优的控制策略。 命题5-1指出，在式(5-25)所示的时间最优控制问题中，控制输入ui(t) = -sgn[BTλ(t)]i是唯一的最优解。这里的sgn表示符号函数，BTλ(t)是状态转移矩阵B与协态变量λ(t)的乘积。该命题的证明涉及到协态方程的解，其中假设λ(0) ≠ 0，以避免矛盾。如果λ(t) ≠ 0，那么控制输入ui(t)不会出现奇异情况。进一步的分析表明，如果存在两个不同的最优控制向量u1和u2，这将与状态方程解的唯一性相矛盾，从而证明了命题5-1的正确性。 最优控制的发展历程从经典的反馈控制演变为现代的最优控制。经典的反馈控制主要应用于20世纪40-50年代的炮火控制系统，多为单输入单输出（SISO）系统，依赖于低阶传递函数和手动计算。而最优控制则始于20世纪60年代，广泛应用于航空航天领域，处理多输入多输出（MIMO）系统，采用状态方程，利用计算机进行优化和算法设计，并考虑控制能耗，且通常由数字设备实现。 在最优控制理论中，变分法是核心工具之一。变分法用于求解最优化问题，如寻找使泛函达到极大或极小的函数。在第1章变分法中，介绍了泛函的定义，包括弧长作为目标泛函，函数空间中的距离，以及ε邻域和泛函的局部极值。通过变分的推演，可以求解泛函的极值，这通常涉及对目标值的微小变化进行分析，然后利用导数的中值定理推导出极值条件。 最优控制理论是解决复杂系统控制问题的关键，它结合了数学、物理学和工程学，为实际应用提供了强大的理论基础。通过深入理解时间最优控制系统的性质，工程师可以设计出更高效、能耗更低的控制策略。