吴受章最优控制理论：泛函求极值与HJB方程

"吴受章最优控制讲授提纲，主要涉及泛函求极值在最优控制理论中的应用，特别是连续LQR问题的求解，采用哈密顿-雅可比-贝尔曼(HJB)方程。" 在最优控制领域，泛函求极值是一种重要的方法，用于找到使某一性能指标达到最小的控制策略。在这个讲授提纲中，吴受章教授介绍了如何利用这种方法解决连续线性二次调节器(LQR)问题。首先，给出了泛函的极值问题，通过式(6-25)表达，这是一个需要求解的目标函数。 接着，提出了哈密顿-雅可比-贝尔曼(HJB)方程，即式(6-26)。HJB方程是控制理论中的核心工具，它描述了系统状态在时间演化过程中的最优值函数。在这个例子中，假设最优值函数V(x, t)是一个二次型，即V(x, t) = (1/2)x^T(t)P(t)x(t)，其中P(t)是一个时间相关的对称矩阵。 将V(x, t)代入HJB方程并化简，得到式(6-28)，这一步通常涉及到对状态变量的微分运算。通过求解这个方程的最小值，可以得到最优控制u(t)，即式(6-30)。将u(t)代回式(6-28)，会得到一个新的表达式，即式(6-31)。 为了使得整个解法自洽，必须确保控制律u(t)满足Riccati微分方程，这是连续LQR问题的关键部分。Riccati方程描述了控制策略与系统动态之间的关系，其解P(t)决定了最优控制的结构。 该讲授提纲还强调了教学方法的灵活性，建议根据教师的习惯和课程进度来调整教学内容和方式。教材《最优控制理论与应用》吴受章编著提供了详细的背景和理论基础，而讲授提纲则起到辅助讲解的作用，帮助学生理解和掌握关键概念。 从经典反馈控制到最优控制的发展过程中，控制系统的设计经历了从手动计算、图形分析到计算机优化和算法应用的转变。最优控制不仅考虑系统的输入输出特性，而且关注控制能量消耗，广泛应用于航空航天等高精度控制领域。 在变分法部分，讲解了变分问题的基本概念，如泛函的定义、函数空间中的距离、局部极值和全局极值。通过推演变分过程，从式(1-1)到式(1-6)，揭示了求解泛函极值的数学步骤，这对于理解HJB方程的推导至关重要。 这个讲授提纲深入浅出地介绍了泛函求极值在最优控制理论中的应用，特别是如何利用HJB方程和Riccati方程解决连续LQR问题，同时强调了教学方法的灵活性和适应性。