回溯算法解POJ2000金币问题分析

"算法设计与分析 POJ2000金币问题的解决方案，涉及回溯算法" 本题目是来自POJ的第2000题，名为"GoldCoins"，主要考察的是算法设计与分析能力，特别是回溯算法的应用。问题描述了一个国王奖励忠诚骑士黄金硬币的规则，这个规则具有周期性，且随着服务天数的增加，奖励的数量呈现等差数列的增长模式。具体规则如下： 在骑士服务的第一天，他得到1枚金币； 接下来的两天（第二天和第三天），每天获得2枚金币； 再之后的三天（第四、五、六天），每天获得3枚金币； 以此类推，每过N天，骑士的每日金币奖励会增加1。 输入文件包含至少一个但不超过21行的数据，每行包含一个整数（1到10000之间），代表骑士服务的天数。输入文件的最后一行是一个特殊的标志，仅包含数字"t"，表示输入结束。 解决这个问题的关键在于找到一个有效的方法来计算在特定天数内骑士所获得的总金币数。由于金币的发放具有周期性，我们可以将这个问题转化为寻找每个周期内骑士得到的金币总数，然后根据服务天数计算出跨越了多少个完整的周期以及剩余的天数，最后将这些部分的金币数量累加起来。 一种可能的解决方案是使用动态规划。首先，可以创建一个数组dp，其中dp[i]表示服务i天能得到的金币总数。对于每一个周期，我们可以通过递推公式dp[i] = dp[i - cycle_length] + cycle_length * (cycle_length + 1) / 2计算，其中cycle_length是当前周期的长度。这是因为每个周期内金币的总和是一个等差数列的求和问题，可以用等差数列求和公式解决。 然后，对于每个测试用例，我们可以找出服务天数对应的完整周期数，以及超出完整周期的剩余天数，用动态规划得到的结果加上剩余天数对应的金币数即可得到答案。 另一种解法是采用回溯算法。通过模拟每一天的金币发放，当服务天数超过设定值时，回溯到上一天并减少相应的金币数。这个过程会不断尝试所有可能的分配方式，直到找到满足条件的解。回溯算法通常在处理具有重叠子问题和可行性剪枝条件的问题时非常有效，但其效率相对较低，不适用于大规模数据。 总结来说，解决"GoldCoins"问题需要理解和运用等差数列求和、动态规划或回溯算法。动态规划法在效率上更优，适合处理此类问题，而回溯法则提供了一种直观的思路，但可能会因为大量的无效计算而效率低下。在实际编程中，应根据题目规模和时间复杂度要求选择合适的算法。