"这篇资料主要讨论了信息论中的基本概念，包括自信息、互信息以及它们的平均值，强调了信息的度量在概率分布上的性质，并提到了不同单位之间的转换关系。"
在信息论中，自信息和互信息是衡量信息量的重要工具。自信息（Self-Information）是描述一个特定事件发生的不确定性或信息含量的度量。它是由事件发生的概率决定的，定义为事件的概率的对数的负值。自信息公式为：
\[ I(x_i) = -\log_2(p(x_i)) \]
这里的 \( p(x_i) \) 是事件 \( x_i \) 发生的概率，通常选择2作为对数的底，单位为比特（bit）。如果以 \( e \) 为底，单位则是奈特（nat），以10为底时单位为哈特莱（Hartley）。不同的对数底会导致不同的单位，但信息量的本质不变。
自信息具有以下三个重要的性质：
1. 如果 \( p(x_1) < p(x_2) \)，则 \( I(x_1) > I(x_2) \)，表明概率小的事件含有更多信息。
2. 当 \( p(x_i) = 0 \) 时，事件不可能发生，因此 \( I(x_i) \rightarrow \infty \)；当 \( p(x_i) = 1 \) 时，事件必然发生，没有信息，所以 \( I(x_i) = 0 \)。
3. 相互独立事件的信息量相加，即 \( I(x_iy_j) = I(x_i) + I(y_j) \)。
平均自信息（Average Self-Information）是指所有可能事件的自信息的期望值，反映了整个随机过程的平均信息含量。互信息（Mutual Information）则是衡量两个随机变量之间相互依赖程度的量，它不是单个事件的自信息，而是描述了一个事件发生如何减少我们对另一个事件不确定性。
互信息 \( I(X;Y) \) 定义为两个随机变量 \( X \) 和 \( Y \) 的联合熵 \( H(X,Y) \) 与它们的边缘熵 \( H(X) \) 和 \( H(Y) \) 之差：
\[ I(X;Y) = H(X) - H(X|Y) = H(Y) - H(Y|X) \]
互信息非负且满足信息增益的性质，即揭示了从一个随机变量中获取信息对另一个随机变量的不确定性的影响。
在实际应用中，不同进制下的波形所含的信息量可以通过比较它们的对数底来计算。例如，四进制系统中每个波形的信息量是二进制系统中相应波形信息量的 \( \log_2(4) = 2 \) 倍，八进制系统中每个波形的信息量是二进制系统的 \( \log_2(8) = 3 \) 倍。
这些信息理论的概念对于理解和量化通信、数据压缩、机器学习等领域的信息处理过程至关重要。它们提供了一种量化不确定性和相关性的数学语言，帮助我们更好地理解和利用信息。
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