Manacher算法详解：高效求解回文子串

"求回文子串_O(n)_manacher算法" Manacher算法是一种高效解决求解字符串中最长回文子串问题的算法，其时间复杂度仅为O(n)。回文串是指正读和反读都一样的字符串，如"level"和"noon"。回文子串则是字符串中的一个子串满足回文性质。 传统的朴素算法，通过以每个字符为中心向两侧扩展，检查是否形成回文串，其时间复杂度为O(N^2)。对于字符串问题，常见的优化算法包括KMP（Knuth-Morris-Pratt）模式匹配、后缀数组、AC自动机等，它们能提供更快的解决方案，但仍有O(N*logN)的时间复杂度。 Manacher算法的独特之处在于它专门针对回文子串，通过对原始字符串进行预处理，插入特殊字符（如'#'或'$'）来统一考虑奇数长度和偶数长度的回文串。这样，原字符串"abaab"会变为"#a#b#a#a#b#"，所有回文串的中心都可以被看作是新串中的一个字符。 算法的核心是构建一个辅助数组P，其中P[i]表示以字符Str[i]为中心的最长回文串的半径。P[i]至少为1，表示回文串为单个字符Str[i]。新串的P数组可以如下表示： ``` # a # b # a # a # b # 1 2 1 4 1 2 5 2 1 2 1 ``` 这里，P[i]-1等于以Str[i]为中心的回文串在原始字符串中的长度。Manacher算法通过动态规划的方法，从前到后计算P数组的值，同时利用已知的回文信息避免不必要的重复计算，从而达到线性时间复杂度。 具体步骤如下： 1. 初始化P数组，P[0] = 1，表示空字符串是回文串。 2. 遍历新字符串，对于每个位置i，尝试利用已知的回文信息更新P[i]。 3. 在更新P[i]时，考虑到回文串的对称性，可以避免重复计算，如果i在已知回文串的范围内，可以直接将回文半径镜像映射到当前位置。 4. 持续更新最大回文半径和对应中心位置，直到遍历完整个字符串。 Manacher算法巧妙地结合了动态规划和回文串的特性，使得在处理长字符串时效率大大提高，是解决回文子串问题的一个高效工具。理解和掌握该算法对于提升字符串处理问题的解决能力非常有益。