给你一个字符串S，找出最长前缀回文子串和后缀回文子串，时间复杂度为o(n)

好的，这是一个很有意思的问题。

我们可以使用 Manacher 算法来解决这个问题，它可以在线性时间内找到一个字符串中的所有回文子串。

具体步骤如下：

1. 首先将原字符串 S 转化为一个新的字符串 T，使得 T 的长度为奇数，这可以通过在相邻的字符之间插入一个特殊字符来实现，例如将字符串 "abc" 转化为 "^a#b#c$";

2. 定义一个数组 P，其中 P[i] 表示以字符 T[i] 为中心的最长回文子串的半径长度；

3. 定义两个变量 C 和 R，其中 C 表示当前已知的最长回文子串的中心位置，R 表示该回文子串的右边界；

4. 遍历字符串 T，对于每个位置 i，计算 P[i] 的值：

4.1 如果 i 在当前已知的最长回文子串的右边界 R 的左侧，那么可以利用已知的信息来快速计算 P[i] 的值，具体步骤如下：

4.1.1 计算 i 的对称点 j = 2C - i；

4.1.2 如果 j 的回文半径小于 R - i，那么 P[i] = P[j]；

4.1.3 否则 P[i] 至少为 R - i，需要从 R 开始扩展，直到不能再扩展为止。

4.2 如果 i 在当前已知的最长回文子串的右边界 R 的右侧，那么必须从 i 开始暴力扩展，直到不能再扩展为止。

5. 遍历数组 P，找到最长的回文子串的半径长度 mx 和其在字符串 T 中的中心位置 idx，则最长前缀回文子串为 S[0:idx-mx/2]，最长后缀回文子串为 S[idx+mx/2:n-1]，其中 n 是原字符串 S 的长度。

Manacher 算法的时间复杂度为 O(n)，可以满足题目要求。