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第
8
卷第
9
期
2009
年
9
月
南阳师范学院学报
Vo
l. 8 No.9
Sep. 2009 Journal of Nanyang Normal University
MRA
超小波的一种判定
王凤兰,李炳杰
(空军工程大学理学院,陕西西安
710051
)
摘
要:超小波是小波分析中一种特殊的信号分析方法.从讨论超小泼分量的角度出发,论证了直和希尔伯特空间
L'
(R)(m)
= L
E!)
L'
(R)
中超小波是
MRA
超小泼的充分必要条件.
f!
p
一个超小波是
MRA
结构当且仅当每个特殊线性子
空间的维数是
O
或者
1
关键词:框架小波;规范紧框架小波;超小波
;MRA
超小波
中图分类号:
0174.2
文献标识码
:A
文章编号
:1671
-6132(2009)09
-0001
-05
o
51
言
超小波(
super-wavelets)
是指直和希尔伯特空
间
L
2
(R)(m)
=L
2
(R)EÐ
…
EÐL
2
(R)
中的小波,是建
立在小波分析基础上的一种特殊的信号分析方法.
它是国内外小波分析理论近几年不断发展、完善的
最新研究成果.超小波的独特之处在于,它对解决
信号的多重性问题有一般小波无法比拟的优势.比
如,在数据压缩方面,当有同样数据时,超小波可以
同时压缩多个信号
[1]
另一方面,利用离散的超小
波变换可进行双正交的滤波谱分析
[2)
可以预见,
随着小波分析理论的不断发展,超小波在信号处
理、数据压缩、图像分析、语音信号处理、高清晰电
视系统等领域将发挥不可替代的作用,其应用前景
是相当广泛的.
小波分析应用到信号处理和图像处理已是众
所周知,其成功之处在于空间
L
2
(R)
的多分辨分
析
(MRA)
的引人,正因为有
MRA
结构,我们可以
给出实现小波分析的快速算法.经典的
MRA
小波
是一种重要的正交小波,在应用中许多著名例子及
小波都属于正交小波类.类似地,研究空间
L
2
(R)(m)
中的
MRA
超小波也同样具有十分重要
的作用
.2000
年,
Han
D
及
Larson
D
[3]已证明了完
全可以构造
L
2
(R)
川的
MRA
超小波
.2005
年,
Bildea S ,Dutkay D
E
及
Galriel
P [
1]
给出了构造空
间
L
2
(R)
(m)
中的
MRA
超小波的一种方法,并且构
造了紧支撑小波的正交基.但是,关于
MRA
超小
波还有很多公开的问题需要解决.
本文建立在对规范紧框架小波分析的基础上,
收稿日期:
2009
-
05
-
31
基金项目:国家自然科学基金资助项目(1
0571113
)
论证了直和希尔伯特空间
L
2
(R)(m)
= L
EÐL
2
(R)
中的超小波是
MRA
超小波的充分必要条件.即一
个超小波是
MRA
结构当且仅当每个特殊线性子空
间的维数是
O
或者1.
1
预备知识
小波理论包含对
L
2
(R)
空间一种仿射结构的
研究,即给定两个西算子,平移算子
T
和伸缩算子
D
,
满足以下交换关系
:DTD-
1
= T
k
,
k
二
~2
,
k
E Z , k
被称为尺度因子.在典型的小波理论中,空间
L2(
R)
的一般算子定义为以下形式:
平移算子:可(
x)
=
f(
x - 1 ) ,x E R
,j
E L
2
(
R)
,
伸缩算子:川才
f
(卡),
x
ε
R.fE
L
2
(R)
,
k~2
,k E Z.
超空间
:L2(R)
(
叫
=
L
EÐ
L
2
(R)
,
m
个
L
2
(R)
,
m
~
2(
本文恒定
m
E
Z+).
本文中如不做特别说明,我们都以
k=2
来计
算.首先我们给出如下的定义.
定义
1
[4]
框架小波:令
ψE
L
2
(R)
,如果存在
两个常数
A
,
B
,
其中
0<
A
运
B
,
使得对
Vf
E
L
2
(R)
有
A
IIfl1
2
运工
I
(j,
DkT
1
收
>
I
2
运
Bllfl1
2
(1.
1)
成立,则称
1
DkT
1
ψ
:k
,
l
E
ZI
是
L
2
(R)
的一组框架,
ψ
是一个框架小波.特别地,当
A
= B =
1
时,称
ψ
作者简介:玉凤兰(1
982
斗,女,陕西宝鸡人,硕土,主要从事智能信号处理及超小波研究.