详解线性回归与梯度下降：原理、单变量与多变量实现

线性回归是一种基本的统计学预测方法，它假设目标值与特征之间存在线性关系。本文将深入探讨以下几个关键知识点： 1. **线性回归的定义**：线性回归是一种回归分析技术，用于建立因变量与一个或多个自变量之间的线性关系模型。在单变量线性回归中，目标是找到一条直线（线性函数）来最准确地预测目标值。 2. **单变量线性回归**：在此模型中，仅考虑一个特征（自变量x）对目标值（因变量y）的影响。模型形式通常表示为 `y = θ0 + θ1 * x`，其中θ0是截距，θ1是斜率。通过最小化残差平方和（cost function）来确定最佳参数。 3. **Cost Function（代价函数）**：衡量模型预测值与实际值之间差异的指标。在单变量线性回归中，常用均方误差（MSE）作为cost function，表示为 `J(θ0, θ1) = 1/(2m) * ∑(h(x_i) - y_i)^2`。cost function越小，表示模型拟合数据越好。 4. **梯度下降**：优化算法，用于寻找cost function的最小值。它通过迭代更新参数（θ0和θ1），每次沿着函数梯度的反方向移动，逐渐接近全局最小值。对于多变量线性回归，梯度下降更为复杂，涉及到多维空间的搜索。 5. **Feature Scaling（特征缩放）**：对于多变量线性回归，特征缩放是必要的预处理步骤。它确保所有特征具有相似的尺度，以便梯度下降算法能更有效地收敛。常见的缩放方法有标准化（Z-score）和归一化（min-max scaling）。 6. **多变量线性回归**：扩展到多个特征（自变量），如 `y = θ0 + θ1*x1 + θ2*x2 + ...`。在实施多变量线性回归前，务必对特征进行预处理，特别是使用FeatureScaling以确保算法性能。 7. **监督学习流程**：线性回归作为监督学习的一部分，涉及训练集的输入输出对。首先，通过训练数据学习一个线性函数，然后计算cost function评估拟合效果，重复迭代直到找到最优参数。 8. **Cost Function的构造与图形表示**：cost function的公式揭示了如何通过各个输入值计算误差。二维表示（如等高线图）展示了参数空间中cost function的形状，线性回归的cost function呈现碗状，存在一个全局最小点。 9. **梯度下降算法**：对于多参数的线性回归，梯度下降涉及计算成本函数关于每个参数的偏导数，然后按照这些梯度调整参数，直至cost function达到最小值。 通过理解以上概念，你可以深入掌握线性回归及其优化方法，并在实践中应用这些工具来构建和优化预测模型。