在IT领域，GCD求和问题通常涉及到数论中的莫比乌斯反演技巧，这是一种在解决与素因子分解相关的问题时常用的工具。这里我们将讨论两个具体题目：P2522[HAOI2011]Problem b 和 P3455[POI2007]ZAP-Queries，以及另外两个题目P1447[NOI2010]能量采集和与GCD相关的题目P2257和P2568。
1. **P2522[HAOI2011]Problem b 和 P3455[POI2007]ZAP-Queries**
这两个题目共同的核心是利用欧拉函数φ(i)和莫比乌斯函数μ(i)来计算关于最大公约数(GCD)的和。设n和m为正整数，d为给定的因子，我们首先定义：
- μ(i)：莫比乌斯函数，对于质数p，μ(p)=(-1)^{(p-1)/2}；对于合数，μ(i)是其所有不同质因数的乘积的符号。
- φ(i)：欧拉函数，φ(i)等于i的所有正因数中与i互质的数的个数。
在P3455中，通过循环计算μ(i)和φ(i)的累加和，并利用递推关系`mu[i] = mu[i] + mu[i-1]`和`phi[i] = phi[i] + phi[i-1]`，进行整除优化，降低了查询的时间复杂度。核心公式是将原问题转换为求`∑(μ[j] - μ[i-1]) * (n/i/d) * (m/i/d)`，其中j是从1到min(n/m, m/n)的整数。
2. **P1447[NOI2010]能量采集**
在这个题目中，同样涉及GCD，但处理方式略有不同。通过莫比乌斯反演求得的是与因子无关的和，例如`∑(phi[j] - phi[i-1]) * (n/i) * (m/i)`，然后用类似的方法求解。最后的结果可能需要额外调整，如`ans*2-n*m`，这是因为题目中可能涉及到能量采集的具体规则。
3. **GCD 相关题目**
P2257和P2568两题未给出具体内容，但从题目名称推测，它们可能是考察如何利用莫比乌斯反演和欧拉函数来计算与GCD相关的统计量，比如特定范围内的GCD之和或与GCD相关的组合问题。
总结来说，这些题目展示了在解决与GCD相关的问题时，如何运用莫比乌斯反演和欧拉函数的理论基础，通过对因子分解和因数个数的计算，优化求和过程，从而降低时间复杂度。这种技巧在许多算法竞赛中是常见且实用的，特别是在需要处理大量整数和素因子分解的情况下。理解并熟练掌握这种方法，对于提高编程竞赛中的解题效率至关重要。
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