三次B-样条曲线的非整体性分析与应用

"这篇论文是1994年华侨大学学报(自然科学版)第15卷第3期刊登的，作者郑辱生探讨了B-样条曲线的非整体性特性，特别是在三次B-样条曲线中的应用。文章重点在于分析三次B-样条基函数，展示了非整体性如何在工程曲线设计中带来灵活性。" B-样条曲线是一种在计算机图形学和几何建模中广泛使用的数学工具，主要因其非整体性的特点而备受青睐。非整体性意味着曲线的局部修改仅影响其附近区域，不会波及整个曲线，从而保持了整体曲线的稳定性。这一特性使得设计师可以方便地调整曲线的局部形状而不影响全局。 三次B-样条曲线的方程表示了由一系列控制点P_i生成的曲线，这些点通过三次多项式N_j(u)连接起来。每个N_j(u)是一个与参数u相关的三次多项式，N_j(u)的系数a_j, b_j, c_j, d_j可以通过特定条件（如在连接点处的一、二阶连续导向量）求解。通过这种方式，可以构建出一条由n-2个曲线段平滑连接的整体B-样条曲线，每个段由四个控制点定义。 论文中指出，给定四个特征多边形顶点，可以唯一确定一段三次B-样条曲线的形状。曲线的起始和结束点（当u=0或u=1时）由对应的控制点决定，且在连接点处，曲线的一阶和二阶导数连续，保证了曲线的平滑性。 作者还讨论了三次B-样条曲线的非整体性在工程曲线设计中的实际应用。这种应用可能包括但不限于机械设计、建筑设计、动画制作等领域，设计师可以利用B-样条曲线的灵活性，精确地控制和塑造曲线的局部形状，以满足特定的设计需求。 在实际计算中，可以采用矩阵形式表示B-样条曲线，如方程(2)所示，这有助于进行数值计算和曲线的可视化。通过调整参数u，可以从0变化到1生成整条曲线。 这篇论文深入研究了三次B-样条曲线的非整体性特性，并提供了具体的数学公式和应用示例，对于理解和应用B-样条曲线在工程领域具有重要的理论和实践价值。