最长公共子序列(LCS)问题解析与解法

"ZOJ 3019 题目是关于计算两个整数序列的最大公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）长度的问题，允许重新排列这两个序列。" 在IT技术领域，特别是在算法竞赛如ACM（国际大学生程序设计竞赛）中，解决此类问题是非常常见的挑战。给定的题目描述了一个需要找到两个整数序列a和b的最长公共子序列，这里的子序列是在原序列中删除一些元素后形成的序列。问题的特殊之处在于，你可以对序列a和b进行任意的重新排序来寻找最优解。 输入包含多组测试用例，每组测试用例首先给出两个整数N和M，分别代表序列a和b的长度，接下来是N个整数表示序列a，然后是M个整数表示序列b。 输出要求是在所有可能的排列组合下，a和b的最长公共子序列的最大长度。 示例输入为： ``` 5 4 12321 1421 ``` 对应的示例输出是： ``` 3 ``` 这表明在所有可能的排列下，序列a和b的最长公共子序列的最大长度是3。 给出的参考答案使用了C++编程语言，并包含了常用的头文件，如`iostream`、`cstdio`、`vector`等，用于输入输出和数据结构的支持。定义了一些常量，例如数组大小`N100005`和`ll`代表`long long`类型。代码中，`inta[N]`和`b[N]`分别用于存储序列a和b的元素，`scanf`函数用于读取输入，`while`循环处理每个测试用例。 解决这个问题通常涉及到动态规划（Dynamic Programming, DP）的方法。尽管参考答案没有提供完整的实现，但可以想象，一个标准的DP解决方案会创建一个二维数组，其中数组的每个元素表示在当前位置时两个序列的最长公共子序列的长度。通过遍历所有可能的排列组合并更新这个二维数组，最后可以得到最长公共子序列的长度。 由于题目没有提供完整的解答代码，这里不进行详细的算法实现。但在实际编程中，需要考虑以下步骤： 1. 初始化一个(n+1) x (m+1)的二维数组dp，其中dp[i][j]表示序列a的前i个元素和序列b的前j个元素的最长公共子序列的长度。 2. 遍历所有可能的a和b的排列组合，对于每个排列，更新dp数组。 3. 记录并返回所有排列组合中dp数组的最大值。 注意，由于允许重新排列序列，因此可能需要使用回溯或深度优先搜索（DFS）配合动态规划来尝试所有可能的排列。这个问题的复杂度较高，因为需要处理序列的排列组合，所以在实际应用中可能需要优化算法以适应较大的输入规模。