矩阵函数计算详解：Jordan标准形与特征值

"该资源是关于矩阵论课程的2018年讲义，主要讨论了矩阵函数的计算，特别是通过Jordan标准形方法来求解。课程由华中科技大学的杨明教授讲授，涵盖了48学时的内容，教材为《矩阵论》第二版。课程不仅介绍了矩阵的基本理论，还涉及矩阵的化简与分解以及在实际问题中的应用。教学过程中建议学生掌握线性代数基础知识，并熟悉如MATLAB等矩阵计算工具。" 在矩阵论中，矩阵函数的计算是一个重要的主题，特别是在处理线性动力系统和控制系统理论等领域。该讲义提到了计算矩阵函数的一种方法——Jordan标准形法。这种方法基于矩阵的Jordan分解，即将一个矩阵A表示为相似于它的Jordan标准形J的乘积，即A=PJP^(-1)，其中P是变换矩阵，J是Jordan矩阵。当需要计算f(A)时，可以将函数f应用到Jordan标准形上，得到f(J)，然后再通过相似变换恢复原矩阵形式，即f(A)=Pf(J)P^(-1)。 Jordan标准形方法的关键在于处理矩阵的特征值和特征向量。如果A的特征值为λ_i，则f(A)的特征值将是f(λ_i)。这在求解如指数函数e^A这样的矩阵函数时特别有用，因为指数函数可以将特征值直接映射为其指数。例如，讲义中给出了计算e^A和e^(At)的例子，这类问题在动态系统中常见，它们描述了系统的随时间演化。 在实际教学安排中，矩阵论课程将花费10学时学习基础概念，8学时深入理解线性空间和线性变换，8学时探讨矩阵的化简与分解，6学时研究矩阵的分析理论，8学时学习特定类型的矩阵，最后6学时则可能用于应用或现代理论的讨论。课程结束时会进行卷面考试，卷面成绩作为最终评价标准。 此外，为了更好地理解和应用矩阵理论，学生需要具备线性代数的基础知识，并能熟练使用如MATLAB或MAPLE等计算软件。同时，推荐的参考资料包括余鄂西的《矩阵论》和方保熔等人的《矩阵论》，这些书籍可以帮助深化对矩阵理论的理解和实践技能。