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第
28
卷第
4
期
2011
年
08
月
工程数学学报
CHINESE
JOURNAL
OF
ENGINEERING
MATHEMATICS
文章编号
:1005-3085(2011)04-0519-08
矩阵和关于广义逆的混合第二吸收律丰
李莹
1
,
2
,高岩郭文彬
2
司成海
2
Vol.
28
No. 4
Aug.
2011
(1-
上海理工大学管理学院,上海
200093;
2-
聊城大学数学科学学院,山东聊城
252059)
摘
要:本文研究了广义逆运算理论,定义了两个矩阵和关于广义逆的混合第一和第二吸收律的概念,
利用矩阵的广义
Schur
补概念与秩方法,对于混合第二吸收律有关的矩阵表达式的极秩进行了
研究,推导了这些矩阵表达式的极大秩与极小秩公式,并利用这组公式建立了两个矩阵和关
于
{1}-
逆与
{1
,
3}-
逆、
{1}-
逆与
{1
,
4}-
逆的混合第二吸收律成立的充要条件.
关键词:
M-P
逆:书
,
j
,
k}-
逆:广义
Schur
补:秩方法:混合吸收律
分类号:
AMS(2000)
15A03
中图分类号:
015
l.
21
文献标识码
:A
1
预备知识
本文中以
c
mxn
表示所有
m
x
n
复矩阵的集合
,
A
飞
r(A)
,
R(A)
分别表示矩阵
A
的共辄转
置、秩与值域.给定矩阵
Aε
c
mxn
,
其广义逆
G[1
,
2]
是满足下列四个方程中某些方程的矩阵
AGA
=
A;
GAG
=
G;
(AG)* = AG; (GA)* = GA.
令@笋
η
=
{i,j,
k}
ç
{1
,
2
,
3
,
4}
,用
Aη
表示满足以上四个方程中的
(i)
,
(j),
(k)
的矩阵
G
的集
合
,
A
η
中的任何一个矩阵
G
称之为矩阵
A
的一个杠
,
j
,
k}-
逆(或
η
逆)
,记为
A(i
,
j
,
k)
若
η=
{1
,
2
,
3
,
4}
,则称
G
为
A
的
M-P
逆,记为
A+.
EA=I-AA+
,
FA=I-A+A
分别为
A*
,
A
的
零空间上的正交投影.
工程中的大量问题可以归结为线性方程或最小二乘问题
[3
,
4]
,而广义逆是解决这两类数学问
题的基本工具.另外,广义逆的计算还直接应用在很多工程问题中,例如现代飞行控制系统设
计的首要问题一控制分配,即可通过广义逆的计算有效解决
[5-8]
矩阵各种类型的广义逆还在
概率统计、数学规划、控制论、测量学、博弈论、网络理论及马尔可夫链等统计问题中有极其
重要的作用
[2
,
9]
广义逆应用的广泛性要求它自身理论发展不断地充实完善.本文将对广义逆
运算的运算律一吸收律进行研究,通过对广义逆运算律的理论研究,使广义逆运算过程得以简
化,计算更加高效.
我们知道,如果
A
,
B
为非奇异矩阵,则
A-
1
+
B-
1
=
A-
1
(A +
B)B-
1
总是成立的.
但对于广义逆矩阵,文献
[lO
J
中举例说明了不一定存在
A
(1),
B
(1),
使得
A(l)
+ B
(1)
A
(1)
(A
+
B)B(l)
,
并推导了上式成立的充要条件.本文中我们考虑将其中的两处逆矩阵换
成两种不同的书
,
j
,
k}-
逆矩阵,若仍有等式成立,则称矩阵和关于两个广义逆满足混合吸收
律,定义如下.
定义1.
1
设
A
,
B
εcmm
,
η=
书
,
j
,
叶,
ç =
{矿
,j',
k'}
为
{1
,
2
,
3
,
4}
的两个非空子
集
,
A
η
为矩阵
A
的所有书
,
j
,
的-逆的集合
,
Bç
为矩阵
B
的所有
{i'
,
j'
,
k'}-
逆的集合,如果
收稿日期:
2009-12-16.
作者简介:李莹
(1974
年
10
月生)
,女,博士,副教授.研究方向:矩阵理论.
*基金项目:国家自然科学基金
(10771073)
;山东省自然科学基金
(ZR2009AL006)