p(x)-拉普拉斯方程非齐次Neumann问题正解的多重性研究

"一类含p(x)-Laplacian的非齐次Neumann问题正解的多重性" 本文探讨了含p(x)-Laplacian的非齐次Neumann边值问题，该问题是数学中的一个重要研究领域，主要涉及到偏微分方程（PDEs）的理论与应用。p(x)-Laplacian是变系数的椭圆型偏微分算子，它在几何、物理和工程等多学科中有广泛的应用，特别是在非线性弹性力学和扩散过程的建模中。 文章由范先令和邓绍高撰写，他们来自兰州大学数学系。研究的主要目标是分析如下问题的存在性和多重性： $$ \left\{ \begin{array}{c} -\text{div}\left(\left|\nabla u\right|^{p(x)-2}\nabla u\right) + \lambda |u|^{p(x)-2}u = f(x, u) \quad \text{in} \quad \Omega \\ \left|\nabla u\right|^{p(x)-2}\frac{\partial u}{\partial \eta} = \phi \quad \text{on} \quad \partial \Omega, \end{array} \right. $$ 其中，$\Omega$ 是一个定义在$\mathbb{R}^N$中的有界光滑区域，$p \in C^1(\Omega)$且对于所有$x \in \Omega$有$p(x) > 1$，$\phi \in C^{0,\gamma}(\partial \Omega)$，$\gamma \in (0,1)$，$\phi \geq 0$并且在$\partial \Omega$上$\phi \not\equiv 0$。函数$f(x,u)$代表非齐次项，而参数$\lambda$控制着问题的性质。 作者使用了次上解和次下解方法（sub-supersolution method）以及变分法来研究这个问题。次上解和次下解方法是解决非线性问题的一种常见策略，通过构造合适的上解和下解，可以推导出问题解的存在性。变分法则是将问题转化为寻找极小值的问题，这通常涉及到寻找满足特定条件的泛函的最小值。 文章的关键发现是存在一个临界值$\lambda^*>0$，当$\lambda>\lambda^*$时，问题至少有两个正解；当$\lambda=\lambda^*$时，至少有一个正解；而当$\lambda<\lambda^*$时，没有正解。这个结果是通过对Neumann问题建立特殊强比较原则（special strong comparison principle）来证明的，这是处理边界条件和解的性质时常用的一个工具。 2000年数学主题分类中，此问题属于35J65（非线性椭圆型偏微分方程），35J70（双线性形式和相关的椭圆型问题），以及35J20（二阶线性椭圆型方程的边值问题）。关键词包括p(x)-Laplacian方程，Neumann问题，以及正解，强调了研究的核心内容。 这篇论文对p(x)-Laplacian非齐次Neumann问题的正解存在性和多重性的深入研究，不仅深化了对这类问题的理解，也为后续相关研究提供了理论基础和方法论。