状态压缩动态规划解决1*2小砖铺广场问题详解

在本文中，我们探讨了关于状态压缩类型动态规划在解决“广场铺砖问题”中的应用，具体案例是计算一个W行H列的广场，使用1*2的小砖铺盖且不允许重叠，求解有多少种不同的铺法。问题的范围限定在1<=W,H<=11，这使得直接搜索算法（如深度优先搜索或宽度优先搜索）在空间和时间效率上存在挑战。 首先，作者指出由于问题规模较小，但考虑到砖的大小限制，即使在最坏情况下铺满11行，深度搜索会带来很高的回溯开销。宽度优先搜索虽然不会形成深度问题，但由于是完全二叉树结构，节点数量巨大，导致空间和时间消耗过大。 接着，文章提出了三个关键性质来简化问题： 1. 如果w和h均为奇数，则无解，因为1*2的砖无法完全覆盖奇数面积的广场。 2. 每次铺砖仅影响上下两行，这表明铺砖过程具有线性结构。 3. 对于按行铺砖，每行的状态独立且相似。 为了进行有效的动态规划，作者将每个状态表示为一个w位的二进制数，其中1表示已铺砖，0表示未铺。例如，状态100100表示某行已被铺了4块砖。状态转移规则转化为从一个二进制数到另一个二进制数的问题，例如100100可以转变成111100和110100。 动态规划的核心在于定义状态转移函数f(i, s)，表示铺到第i行且当前状态为s的铺砖方案数。初始值为f(1, 0) = 1，因为第一行只有一种铺法（全未铺）。最终答案为f[h+1][0]，即铺满广场的方案数。这个问题的时间复杂度为O(h * 2^W)，其中h是行数，2^W是状态空间的大小。 文章还提到了基本位操作在状态转换中的应用，即通过逻辑运算来改变当前状态，这是动态规划求解这类问题的重要步骤。通过这些技巧，我们可以有效地避免大规模搜索，提高算法的效率。 这篇文档展示了如何利用状态压缩和动态规划策略解决特定类型的铺砖问题，通过将问题分解为二进制状态和状态转移规则，成功地降低了空间和时间复杂度，适用于处理此类具有约束条件的组合优化问题。