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首页"Algebraic Number Theory by Jurgen Neukirch, translated by Norbert Schappacher"
"Algebraic Number Theory by Jurgen Neukirch, translated by Norbe...
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更新于2023-11-24
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《代数数论Jurgen Neukirch.pdf》是一本关于代数数论的书籍,由Jurgen Neukirch所著,由Norbert Schappacher翻译,Springer-Verlag出版公司在柏林、海德堡、纽约、巴塞罗那、香港、伦敦、米兰、巴黎和新加坡出版。这本书是原版德语书籍《代数数论》的翻译版,其国际标准书号为3-540-54273-6。该书由16个图表构成,并受到了图书馆分类编目的关注。 该书的作者Jurgen Neukirch是一位1937年出生的数学家,他在法国斯特拉斯堡的路易大学数学与计算机科学学院任教。而译者Norbert Schappacher则从事数学教学与研究工作。原版德语书籍于1992年出版。 《代数数论》这本书详细介绍了代数数论的基本概念和理论。代数数论是研究代数数域的数学分支,涉及到整数环、整数域、有限域、代数数的性质等内容。本书通过深入浅出的方式,对代数数论的重要概念和定理进行了系统阐述,并给出了一些具体的例子和应用。 该书的目标读者主要是数学专业的研究生和学者,以及任何对代数数论感兴趣的人。通过学习本书,读者可以深入了解代数数论的基本原理和方法,为进一步研究和应用代数数论提供了坚实的基础。 总之,《代数数论Jurgen Neukirch.pdf》是一本权威且全面的代数数论教材,适合高等数学教育和学术研究领域使用,也是对代数数论感兴趣的读者进行学习和研究的理想参考。
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1.0
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Table of Contents
Chapter I: Algebraic Integers . . . . .
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. . . 1
§ 1. The Gaussian Integers . . . . . .
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. . . . .
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. . 1
§ 2. Integrality . . . . . . .
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. . . .
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. . . . . .
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5
§ 3. Ideals . . .
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. . . . .
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. . . 16
§ 4. Lattices
. .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
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. . .
.
. .
. . 23
§ 5. Minkowski Theory . . . . . . .
.
. . . . . .
. . . .
.
. . .
28
§ 6. The Class Number
. . . .
. . .
. .
. .
. . .
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. . . . .
. . . 34
§ 7. Dirichlet's Unit Theorem . . . . . . .
. . .
. .
.
. . .
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. . 39
§ 8. Extensions of Dedekind Domains . . . . . . .
. .
. . . . . . .
44
§ 9. Hilbert's Ramification Theory . . .
.
. .
.
. .
. . . . . . . . 53
§ 10. Cyclotomic Fields
. . .
.
. . . .
. . .
. .
. .
. . . .
. . .
58
§ 11. Localization
.
. . .
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. . . . . .
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. . . . . . .
.
. . . 65
§ 12. Orders
. .
. .
. . . .
.
. . . . .
. . .
. . . . .
.
.
.
. . . 72
§ 13. One-dimensional Schemes
. . . . .
. . . .
.
.
. . . . . . . 84
§ 14. Function Fields
. . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . .
94
Chapter H: The Theory of Valuations .
.
. . .
. .
. . . . . . .
.
99
§ 1. The p-adic Numbers
. . .
. . .
. .
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. . .
.
. . . . .
.
.
. 99
§ 2. The p-adic Absolute Value . . . . . .
.
. . . . . .
. . .
. . . 106
§ 3. Valuations
. . . . .
. .
.
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. . . . . . . . .
. . . . . 116
§ 4. Completions
.
. . . . .
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. . . .
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. . . .
. . . .
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. . 123
§ 5. Local Fields
. .
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. . .
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. . . .
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. . .
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. . . .
. . .
134
§ 6. Henselian Fields . .
. . . . . . . . .
.
. . . . . . .
. .
. . . 143
§ 7. Unramified and Tamely Ramified Extensions
.
.
. . . .
.
. . . 152
§ 8. Extensions of Valuations
. . . .
. . .
.
. . . .
. .
. . .
.
. . 160
§ 9. Galois Theory of Valuations
. . . .
. .
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. . . . .
. .
. . . 166
§ 10. Higher Ramification Groups .
. . . .
.
. . .
. .
.
. .
. . . 176
Chapter III: Riemann-Roch Theory
.
.
. . . . . . . . . . . . . 183
§ 1. Primes
. . . . . . . . .
. .
. . .
.
.
.
. . .
. . . .
.
. .
. 183
§ 2. Different and Discriminant .
. . . .
. . .
. . . . . .
. .
. . . 194
§ 3. Riemann-Roch
. . .
. .
. .
.
.
. .
. . . .
.
. .
. .
.
. . . 208
§ 4. Metrized o-Modules
. . .
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. . . . . . . .
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. . . .
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. .
. 224
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xvi
Table of Contents
§ 5. Grothendieck Groups
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . .
233
§ 6. The Chern Character
. .
.
. .
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. . .
. . . .
.
.
.
. . . . . .
243
§ 7. Grothendieck-Riemann-Roch
. . . . .
. . . .
. . . . . . . . 246
§ 8. The Euler-Minkowski Characteristic
. . . . .
.
. . . . . . . .
255
Chapter IV: Abstract Class Field Theory . . . . .
. . . . . . . .
261
§ 1. Infinite Galois Theory
. . . . . . . . . .
. . .
. . . . . .
.
.
261
§ 2. Projective and Inductive Limits
. . . . . . . . .
. . . . .
.
.
. 265
§ 3. Abstract Galois Theory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
§ 4. Abstract Valuation Theory
. . . . .
.
. . . . .
. . .
. .
.
. . 284
§ 5. The Reciprocity Map
. . .
.
. .
.
. . . . . .
. .
. . . . . . 290
§ 6. The General Reciprocity Law
. . . . . .
.
. . . . . . . . .
. 299
§ 7. The Herbrand Quotient
. . . . . . . . .
. . .
.
. . . . . . . 310
Chapter V : Local Class Field Theory
. . .
.
. . .
. . . . . . . . 317
§ 1. The Local Reciprocity Law
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . 317
§ 2. The Norm Residue Symbol over Qp
. . . . . .
. . . .
.
.
.
. 327
§ 3. The Hilbert Symbol
. . . . . . .
.
. . . . . . .
.
. . . . . . 333
§ 4. Formal Groups
. . . . . . . . . . . . . . . .
. .
.
. . . . 341
§ 5. Generalized Cyclotomic Theory
.
.
. . . . . .
.
. . . .
.
. . 346
§ 6. Higher Ramification Groups
. . .
. .
. . . . .
. . . .
.
.
. . 352
Chapter VI: Global Class Field Theory
. . .
.
. .
. . . . . . .
.
357
§ 1. Ideles and Ideae Classes
. . . . . . . . . . . .
. .
.
.
.
.
. . 357
§ 2. Ideles in Field Extensions
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 368
§ 3. The Herbrand Quotient of the Ideae Class Group
. .
.
. .
. . . .
373
§ 4. The Class Field Axiom
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 380
§ 5. The Global Reciprocity Law
. .
.
. . . . .
.
.
. . . . . .
.
. 385
§ 6. Global Class Fields
. . . . .
.
. . . . .
.
. .
. . . . . . . . 395
§ 7. The Ideal-Theoretic Version of Class Field Theory
. . . . . . . . 405
§ 8. The Reciprocity Law of the Power Residues
. . .
. . .
. .
. . .
414
Chapter VII: Zeta Functions and L-series
. . . .
. . . . . . . .
419
§ 1. The Riemann Zeta Function
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . 419
§ 2. Dirichlet L-series
.
. . . . . . .
.
. . . . . .
. . . . . . . . 434
§ 3. Theta Series . .
.
. . .
.
.
. . . .
. . . . . .
. .
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.
. . . . 443
§ 4. The Higher-dimensional Gamma Function
. . .
. . . . . . . . 453
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Table of Contents xvii
§ 5. The Dedekind Zeta Function .
. . .
. .
. . .
. . .
. .
.
. . . 457
§ 6. Hecke Characters
. . . . . . . . .
. . .
. .
. .
. . .
.
. . . 470
§ 7. Theta Series of Algebraic Number Fields
. . . . . . . .
.
. . .
484
§ 8. Hecke L-series . . . .
.
. . .
. .
. . . . . . . .
.
.
.
. .
. 493
§ 9. Values of Dirichlet L-series at Integer Points
.
. .
. . .
. . . .
504
§ 10. Artin L-series
.
. . . . . . . .
.
. . . . .
.
. . .
. .
. . . 517
§ 11. The Artin Conductor
.
. . . . . . . . . . .
.
. . . . . . . . 527
§ 12. The Functional Equation of Artin L -series . .
. . .
. . .
. . .
535
§ 13. Density Theorems . .
. .
. . . .
. . .
. .
.
. . . . . . . . 542
Bibliography
. .
. . .
. . .
. . .
. .
.
. . . .
. . . .
. .
.
. . 551
Index
.
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. . . . .
. . .
. . .
.
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. . 559
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/87768019/bg13.jpg)
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Chapter I
Algebraic Integers
§ 1. The Gaussian Integers
The equations
2=1+1, 5=1+4, 13=4+9, 17=1+16, 29=4+25, 37=1+36
show the first prime numbers that can be represented as a sum of two squares.
Except for 2, they are all - 1 mod 4, and it is true in general that any odd
prime number of the form p = a2 -I- b2 satisfies p - 1 mod 4, because
perfect squares are = 0 or - 1 mod 4. This is obvious. What is not obvious
is the remarkable fact that the converse also holds:
(1.1) Theorem. For all prime numbers p
2, one has:
p=a2+b2 (a,bEZ)
p-1mod4.
The natural explanation of this arithmetic law concerning the ring Z of
rational integers is found in the larger domain of the gaussian integers
Z[i]={a+biIa,beZ}, i=
.
In this ring, the equation p = x2 + y2 turns into the product decomposition
p = (x+iy)(x -iy),
so that the problem is now when and how a prime number p E Z factors
in Z[i]. The answer to this question is based on the following result about
unique factorization in Z[i].
(1.2) Proposition. The ring 7G[i] is euclidean, therefore in particular facto-
rial.
Proof : We show that Z[i] is euclidean with respect to the function Z[i] -+
N U (0), a H Ia12. So, for a, B E 7Z[i], $
0, one has to verify the
existence of gaussian integers y, p such that
a=yp+p and
IpI2<IfI2.
It clearly suffices to find y E Z[i] such that
I - y j
< 1. Now, the
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