徐云主讲的数论算法概览：初等理论与经典应用

本资源主要介绍了《chap31数论算法》的内容概览，由主讲人徐云讲解，适用于秋季学期2018年的中国科学技术大学课程。章节涵盖了初等数论的基础概念和核心算法，旨在帮助学生理解和应用数论在信息技术中的重要作用。 1. 初等数论记号 (31.1): 这部分介绍了数论中的基本符号和术语，包括如何表示和理解数学概念，是后续理论和算法讨论的基础。 2. 最大公约数 (31.2): 数论中的最大公约数是关键概念，它涉及两个或多个整数共有的最大正因数。这部分可能探讨了欧几里得算法等计算最大公约数的方法。 3. 模运算 (31.3): 模运算在密码学和计算中广泛应用，如RSA公钥密码系统的基础。学生将学习如何进行模运算以及它在信息安全中的角色。 4. 求解线性模方程 (31.4): 这部分可能涉及如何通过数论技巧求解形如ax ≡ b (mod n) 的方程，这是许多加密和编码算法的核心组成部分。 5. 中国余数定理 (31.5): 该定理描述了关于模运算的性质，对于解决多个模方程组十分有用，是现代密码学中处理大数分解问题的重要工具。 6. RSA公钥密码系统 (31.7): RSA是基于数论难题的加密算法，学生会了解其原理和工作流程，包括利用质数和大数分解来确保安全通信。 7. 素数判定 (31.8): 素数是数论中的基石，这部分可能讲解了如何快速识别一个数是否为素数，这对于高效计算和加密至关重要。 算术计算中的输入规模和成本: 在这些算法设计中，输入规模和计算效率是关键考量。例如，介绍了一种衡量算法效率的标准，即算法运行时间以输入整数的二进制编码长度为多项式时间。 - 除定理 (Th31.1): 定义了可除性、素数和合数的概念，并给出了欧几里得除法（也称辗转相除法）的证明，阐述了整数a除以正整数n的商和余数的唯一性。 - 模等价类 (Def.2): 强调了模n下的等价关系，即[a]n定义为所有与a同余于n的整数集合，这是数论中的一个重要抽象概念。 这些知识点展示了数论算法在信息技术领域的广泛应用，尤其是在密码学、计算机科学基础和算法设计中，它们提供了理论基础和技术手段，对于理解和实现高效的计算和加密算法至关重要。通过学习这些内容，学生可以提升对数字世界的深入理解，为今后在IT领域的工作打下坚实基础。