"该文是关于一类非线性微分差分方程的近似解的研究,由赵杰民撰写,发表在2001年的《数学研究与评论》第21卷第2期上。文章针对具有自由自持振动的软激励方程,扩展了Nayfeh和Mook的理论,给出了解的一致有效渐近展开式,并提供了共振解的近似解析表达。方程涉及到微分差分形式,包含小参数ε,周期性外激励E(Dt),以及解析函数依赖的内变量。文章采用了多尺度方法来求解方程的近似解。"
本文关注的是非线性微分差分方程的解析近似解,这类方程在物理、工程和其他科学领域中有广泛应用,因为它们能描述动态系统的复杂行为。作者赵杰民在文中指出,对于一类特定的非线性微分差分方程,可以通过多尺度方法得到一致有效的渐近展开式,这有助于理解和预测系统在共振条件下的行为。
在介绍部分,赵杰民引用了Nayfeh和Mook的工作,他们对带有自由自持振动的软激励方程进行了研究,给出了主共振情形下解的一次近似表达式。在此基础上,本文进一步拓展了这一结果,处理更复杂的非线性情况,并给出了新的解析表达式。
具体到方程形式,(1)式和(5)式描述了含有小参数ε的微分差分方程,其中x是因变量,ε表示小量,而E(Dt)是一个关于时间t的周期函数,表示外部激励。作者假设E(Dt)为软激励,即E(Dt)=E(e^(βt))的形式,其中β是常数。方程中的其他项涉及无量纲变量,如ω,r,以及解析函数!(U1, U2, V1, V2)。
文章的核心是采用多尺度方法来寻找方程(5)的解的近似展开式(6),这是一个无穷级数,每一项都与ε的幂次对应,代表了解在不同尺度上的行为。这种方法允许逐步考虑各个尺度的影响,从而得到更精确的解。
作者赵杰民在文中还简述了计算过程,但具体内容未在摘要中完全给出。通过这种方法,他能够得到在共振条件下的近似解析解,这对于理解和分析实际系统在受激励时的行为至关重要,尤其是在工程振动分析和控制中。
这篇论文在非线性微分差分方程的解析解方面做出了贡献,为处理这类问题提供了一种有效工具,并且是对已有理论的拓展和深化。它不仅在理论上有价值,而且对解决实际问题,如振动分析、信号处理等领域的问题也具有实践意义。