Python编程：梯度下降法与最小二乘法求解多元线性回归对比

这篇教程主要介绍了如何使用Jupyter Notebook和Python编程来解决多元线性回归问题，特别是通过梯度下降算法和最小二乘法，并比较两者之间的精度差异。 一、梯度下降算法的基本原理 梯度下降算法是一种优化方法，常用于寻找函数的局部最小值。在多元线性回归中，它用来找到最佳的参数（系数）使得损失函数（代价函数）最小。迭代公式是通过沿着梯度（函数的偏导数）的反方向更新参数，逐步逼近最小值。梯度下降的特点在于它的迭代过程，每次迭代都会朝着损失函数减小最快的方向移动。 1.1 更新公式：在每一步迭代中，参数更新遵循以下规则： $$\theta_j := \theta_j - \alpha \frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta)$$ 其中，$\theta_j$ 是参数，$\alpha$ 是学习率，$J(\theta)$ 是损失函数。 1.2 特点： - 梯度下降是迭代过程，直至达到预设的停止条件（如达到一定的精度或达到最大迭代次数）。 - 学习率决定了每次迭代时参数更新的幅度，过大会导致震荡，过小则收敛速度慢。 - 当接近最小值时，步长会逐渐减小，使得算法更稳定。 二、题目、数据及环境搭建 1. 多元线性回归问题通常涉及多个自变量与一个因变量的关系，例如，本例中可能研究的是店铺面积与月营业额之间的关系。 2. 数据表提供了各个店铺的面积和其他可能影响营业额的因素，以及对应的月营业额数据。 3. Python环境通常需要安装必要的库，如numpy、pandas和matplotlib等，用于数据处理和可视化。 三、梯度下降算法实现多元线性回归 1. 导入所需的库，加载数据，并初始化参数。 2. 定义初始系数向量和学习率、迭代次数。 3. 损失函数（通常为均方误差）计算当前参数下的预测值与实际值的差距。 4. 编写梯度下降算法的函数，计算损失函数关于每个参数的梯度，并更新参数。 5. 通过循环调用梯度下降函数进行迭代，同时记录每次迭代的损失值。 6. 使用matplotlib绘制回归线，展示模型拟合效果。 四、最小二乘法求解多元线性回归 最小二乘法是一种直接求解线性回归系数的方法，它通过最小化所有样本点到回归线的平方和来确定最佳拟合线。Python中可以使用numpy的linalg库中的lstsq函数实现。 五、精度对比 通过比较梯度下降法和最小二乘法求解的回归方程，观察两者预测结果的差异，评估哪种方法在给定数据集上的表现更优。 总结： 本教程详细讲解了如何在Jupyter Notebook中运用Python实现梯度下降算法和最小二乘法解决多元线性回归问题。通过对两种方法的实现和精度对比，读者能够更好地理解这些方法的适用场景和性能特点，为实际数据分析和机器学习模型的建立提供参考。