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分别用雅可比迭代法与赛德尔迭代法求解线性方程组Ax=b

matlab

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11页

分别用雅可比迭代法与赛德尔迭代法求解线性方程组Ax=b，其中 A=[-8 1 1;1 -5 1;1 1 -4],b=[1 16 7]，取初始量x（0）=（0,0,0）'，精确到0.001。

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一、题目

分别用雅可比迭代法与赛德尔迭代法求解线性方程组 Ax=b，其中

A=[-8 1 1;1 -5 1;1 1 -4],b=[1 16 7]，

取初始量 x（0）=（0,0,0）'，精确到 0.001。

二、基本思想

设 n 阶线性方程组

Ax=b

的系数矩阵 A 非奇异，写出它的一个等价形式

x=Mx+g 

任给 x 的一个值 x（0）称为初始向量，代入的右边，算出的结果记为 x（1），如此依次

代入可得到一个向量序列 x（1）x（2）x（3）x（4）.......

显然，如果这个向量序列收敛的话，它的极限就是方程组的解。

三、程序

雅可比迭代法

function[x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol)

maxl=300;%默认最多迭代300

D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵

L=-tril(A,-1);%求A的下三角矩阵

U=-triu(A,1);%求A的上三角矩阵

B=D\(L+U);%用左除比求矩阵的逆

f=D;

x=B*x0+f;

k=1; %迭代次数

while norm(x-x0)>=tol

x0=x;

x=B*x0+f;

k=k+1;

if(k>=maxl)

disp('迭代超过300次，方程组可能不收敛');

return;

end

a=[-8 1 1;1 -5 1;1 1 -4];

b=[1 16 7]';

x0=[0 0 0]';%迭代处置

[x,k]=Fjacobi(a,b,x0,1e-3)

运行结果：

赛德尔迭代法

function [x,k]=Fgseid(A,b,x0,tol)

%高斯-赛德尔迭代法

%tol为误差容限

maxl=300;

D=diag(diag(A));

L=-tril(A,-1);

U=-triu(A,1);

G=(D-L)\U;

f=(D-L)\b;

x=G*x0+f;

k=1;

while norm(x-x0)>=tol

x0=x;

x=G*x0+f;

k=k+1;

if(k>=maxl)

disp('迭代次数太多，可能不收敛');

return;

end

a=[-8 1 1;1 -5 1;1 1 -4];

b=[1 16 7]';

x0=[0 0 0]';%迭代初值

[x,k]=Fgseid(a,b,x0,1e-3)

运行结果：

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用C++语言解决下列问题：用雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法求解方程组 1{█(10x_1-〖2x〗_2-2x_3=1@〖-2x〗_1-10x_2-x_3=0.5@〖-x〗_1-2x_2+3x_3=1)┤ 2. [■(10@■(-1@■(2@0)))■(-1@■(11@■(-1@3)))■(2@■(-1@■(10@-1)))■(0@■(3@■(-1@8)))][■(x_1@■(x_2@■(x_3@x_4 )))][■(6@■(25@■(-11@15)))]

下面分别介绍一下雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并用C++语言实现这两种方法来求解您给出的方程组。 1. 雅可比迭代法雅可比迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。对于方程组Ax=b，它的迭代式可以表示为： x...

取Δx=2, 1, 0.2和0.1m时，分别采用直接法和迭代法的不同方法求解方程组并进行对比。

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