Generalized Benders Decomposition 学习笔记
2018 年 5 月 5 日
1 原始问题
原始问题如下：
max
x,y
f(x, y)
s.t. G(x, y) 0, x ∈ X, y ∈ Y
(1)
其中，G(x, y)所得结果为一个m维向量（也即有m个不等式约束）,假设在(1)中，y是复杂变量，即
当y是固定值的时候，(1)就会变得很好解，这主要体现在一下几个可能的方面：
(a) 对于固定的y，问题(1)可以分解为若干个独 立的优化问题，每一个子优化问题都是x的一个子
向量，且互相不交叠；
(b) 问题(1)可能是一个可以有效求解的著名的问题结构；
(c) 问题(1)对于x和y联合起来并不是concave的，但是固定y之后对于x就是concave的。
为了将y固定，进行的操作是将问题投影到y空间上，(projection/partitioning)，经过映射或者
是投影之后，问题变为了如下的形式：
max
y
v(y)
s.t. y ∈ Y ∩ V
(2)
其中，v(y)与V 的定义如下：
v(y) := sup
x
f(x, y)
s.t. G(x, y) 0, x ∈ X
(3)
V := {y|G(x, y) 0, ∃x ∈ X} (4)
实际上，Y是y原来的取值范围，而V则是可行的y的取值范围，两者求交集，则是在限定取值范围内
的可行解y的范围。
注意到，v(y)是在给定y的情况下，(1)的最优取值，因为(3)太常用了，所以用（1-y）来指代(3)中
的优化问题。
max
x∈X
f(x, y), s.t.G(x, y) 0 (1 − y)
1
Klein15
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