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随机过程数学建模分析
任何通信系统都有发送机和接收机,为了提高系统的可靠性,即输出信噪比,
通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器,信道内的噪声构成了一个随机过
程,经过该带通滤波器之后,则变成了窄带随机过程,因此,讨论窄带随机过
程的规律是重要的。
一、窄带随机过程。
一个实平稳随机过程 X(t),若它的功率谱密度 具有下述性质:
中心频率为 ω
c
,带宽为△ω=2ω
0
,当△ω<<ω
c
时,就可认为满足窄带条件。
若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。若带通滤波器的传输函
数满足该条件则称为窄带滤波器。随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带
随机过程。
图 1 为典型窄带随机过程的功率谱密度图。若用一示波器来观测次波形,则
可看到,它接近于一个正弦波,但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化 ,
图 2 所示为窄带随机过程的一个样本函数。

图 1 典型窄带随机过程的功率谱密度图
图 2 窄带随机过程的一个样本函数
二、窄带随机过程的数学表示
1、用包络和相位的变化表示
由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在 ω
c
附近的很窄范围内的一个随机
过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实
现)的波形是一个频率为 ƒ
c
且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。
写成包络函数和随机相位函数的形式:
X(t)=A(t)*cos[ω
c
t+ Φ(t)]

其中:A(t)称作 X(t)的包络函数; Φ(t)称作 X(t)的随机相位函数。包络随时间做
缓慢变化,看起来比较直观,相位的变化,则看不出来。
2、莱斯(Rice)表示式
任何一个实平稳随机过程 X(t)都可以表示为:
X(t)=A
c
(t) cosω
c
t-A
S
(t) sinω
c
t
其中同相分量:
A
c
(t)= X(t) cosφt= X(t) cosω
c
t+ sinω
c
t=LP[X(t) *2cosω
c
t]
正交分量:
A
S
(t) = X(t)sinφt= cosω
c
t— X(t) sinω
c
t= LP[-X(t) *2sinω
c
t]
( LP[A]表示取 A 的低频部分)。A
c
(t)和 A
S
(t)
都是实随机过程,均值为 0,方差等于 X(t)的方差。
三、窄带随机过程仿真建模要求

1、用 Matlab 编程仿真窄带随机信号:X(t)=(1+ A(t))*cos(ω
c
t+φ)+n(t)。 其中
包络 A(t)频率为 1KHz,幅值为 l V。载波频率为:4KHz,幅值为 l V,φ 是一个
固定相位,n(t)为高斯白噪声,采样频率设为 16KHz。实际上,这是一个带有载
波的双边带调制信号。
2、计算窄带随机信号的均值、均方值、方差、概率密度、频谱及功率谱密
度、相关函数,用图示法来表示。
3、窄带系统检测框图如图 3 所示。
图 3 窄带系统检测框图
4、低通滤波器设计:
低通滤波器技术要求:通带截止频率 1KHz,阻带截止频率 2KHz。过渡带:
1KHz,阻带衰减:>35DB,通带衰减:<1DB,采样频率:≤44.1KHz
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