4
9.4.1 Second-Order Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.4.2 Correlogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.4.3 Fitting Random Walk Models to Financial Data . . . . . . . . . . . . . . 111
10 Autoregressive Moving Average Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.1 How Will We Proceed? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.2 Strictly Stationary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.3 Akaike Information Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.4 Autoregressive (AR) Models of order p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10.4.1 Rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10.4.2 Stationarity for Autoregressive Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.4.3 Second Order Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.4.4 Simulations and Correlograms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.4.5 Financial Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.5 Moving Average (MA) Models of order q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
10.5.1 Rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.5.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.5.3 Second Order Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.5.4 Simulations and Correlograms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.5.5 Financial Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.5.6 Next Steps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.6 Autogressive Moving Average (ARMA) Models of order p, q . . . . . . . . . . . . 149
10.6.1 Bayesian Information Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.6.2 Ljung-Box Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.6.3 Rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.6.4 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.6.5 Simulations and Correlograms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.6.6 Choosing the Best ARMA(p,q) Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.6.7 Financial Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.7 Next Steps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11 Autoregressive Integrated Moving Average and Conditional Heteroskedastic
Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.1 Quick Recap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.2 Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) Models of order p, d, q . . 164
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