一种新的分数阶傅立叶变换快速算法
平先军 ,陶 然 ,周思永 ,王 越
(
北京理工大学电子工程系 ,北京 100081
)
摘 要 : 本文给出了分数阶傅立叶变换
(
FRFT
)
的定义 ,介绍了已有的几种离散 FRFT快速算法 ,并简要分析了
这几种算法的优缺点. 在此基础上提出了一种新的 FRFT 快速算法. 该算法避开特征值与特征向量的匹配问题 ,具有
易理解、易实现、效果好等优点. 并且在改变分数阶幂时不需重新计算整个过程 ,只需计算一个对角矩阵. 为与其他方
法作比较 ,作者最后对几个典型信号作了计算机仿真 ,并给出其仿真结果.
关键词 : 分数阶傅立叶变换 ; Hermite 函数 ; 时频分析
中图分类号 : TN911176 文献标识码 : A 文章编号 : 037222112
(
2001
)
0320406203
A Novel Fast Algorithm for Fractional Fourier Transform
PING Xian2jun ,TAO Ran ,ZHOU Si2yong ,WANG Yue
(
Dept. Of Electronic Engineering , Beijing Institute of Technology , Beijing 100081 , China
)
Abstract : The definition of the Fractional Fourier Transform
(
FRFT
)
has been presented in the paper. Several fast algorithms
of discrete FRFT have been reviewed. The performances of these algorithms have been analyzed briefly. Based on this analysis ,a new
algorithm for efficient and accurate computation of FRFT is given. This algorithm needs not to consider the match between eigenvalues
and eigenvectors. There are some advantages such as easily understanding and implementing with excellent effect. And if the rotational
angle is changed ,only a diagonal matrix should be recomputed. A few simulation results for some typical signals are provided to com2
pare with previous ones by other methods in the end.
Key words : fractional fourier transform;hermite function ;time2frequency analysis
1 分数阶傅立叶变换的定义
FRFT ,也称为角度傅立叶变换
(
AFT
)
或者旋转傅立叶变
换
(
RFT
)
,其定义式为 :
X
p
(
u
)
=
∫
∞
- ∞
x
(
t
)
B
α
(
t , u
)
dt
=
1 - jcot
(α)
2
π
∫
+ ∞
- ∞
x
(
t
)
exp
j
t
2
+ u
2
2
cot
(α)
- jtucsc
(α)
dt ,
α
≠n
π
x
(
t
)
,
α
= 2 n
π
x
(
- t
)
,
α
=
(
2 n ±1
)π
(
1
)
其中 p 为 FRFT的阶 ,可以为任意实数 ,
α
= p
π
/ 2 , n 为整数.
FRFT的变换核为 :
B
α
(
t , u
)
=
1 - jcot
(α)
2
π
exp j
t
2
+ u
2
2
cot
(α)
- jtucsc
(α)
,
α
≠n
π
δ(
t - u
)
,
α
= 2 n
π
δ(
t + u
)
,
α
=
(
2 n ±1
)π
(
2
)
注意变换核对阶次
(
角度
)α
是完全连续的. FRFT 是一种线性
算子 ,记为 F
p
. F
p
满足以下性质 : ①零度旋转对应信号自身 :
F
0
= I , ②
π
/ 2 旋转对应于普通 FT: F
1
= F, ③是加性算子 :
F
P
1
F
P
2
= F
p
1
+ p
2
= F
P
2
F
P
1
, ④周期性 F
p
= F
P + 2 k
π
, k 为整数.
FRFT的详细性质 ,请参考文献
[1]
.
2 分数阶傅立叶变换的几种快速算法
FRFT的快速算法是近几年才开发出来的 , FRFT 的出现
引起了各个领域研究人员的重视 ,在工程上也有广阔的应用
前景. 目前研究 FRFT 的快速算法主要有三种途径 :
(
1
)
利用
F
2
α
/
π
=
∑
3
i = 0
a
i
(α)
F
i
,来计算离散 FRFT的核矩阵 ,
从而利用 FFT来计算离散 FRFT
[2]
. 其中 F 是离散傅立叶变换
核矩阵.
(
2
)
采用分解方法
[3]
. 该算法将 FRFT 分解为信号的卷积
形式 ,从而利用 FFT来计算 FRFT.
(
3
)
利用矩阵的特征值和特征向量来计算离散
FRFT
[4 ,5 ]
,
详见第 3 节.
这里仅对几种快速算法作简单的分析.
第一种方法中采用旋转 DFT 矩阵任意角度的方法导致
了特征值与特征向量的不匹配 ,而且其离散 FRFT 矩阵不满
足连续 FRFT 的 旋转 性 , 因 此 不 能 用 相 同的 方 法 计算 逆
FRFT
[3 ]
. 实际计算所产生的误差也较大 ,与连续 FRFT 没有相
似的输出结果
[5]
.
第二种方法的思想比较直观 ,计算出的结果与连续 FRFT
收稿日期 :2000202203 ;修回日期 :2000207222
基金项目 :国家自然科学基金
(
No. 69972003
)
第 3 期
2001 年 3 月
电 子 学 报
ACTA ELECTRONICA SINICA
Vol. 29 No. 3
March 2001
moming11
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