北航数值分析大作业：矩阵压缩与特征值求解详解

北航数值分析大作业的第一题着重于矩阵的压缩存储和特征值的求解，涉及了幂法和反幂法这两种经典的数值分析算法。首先，题目要求学生对给定的矩阵A采用压缩存储策略，通过将矩阵元素重新映射到一个更紧凑的存储方式，利用矩阵的上半带宽特性，仅保留对角线元素和边界值，同时将b和c作为全局变量来进一步减小存储需求。 算法设计的核心部分包括： 1. **幂法**：根据矩阵A的特征值的性质（λ1 < λ2 < ... < λ501），幂法被用于找到模最大的特征值λm。如果λm > 0，那么λ501将被找到，通过原点平移B = A - λmI，然后再次应用幂法求解λt，从而得到λ1 = λt + λm。若λm < 0，则采用类似方法处理模最小的特征值λs。 2. **反幂法与Doolittle分解**：反幂法则用来求解按模最小的特征值，其中使用Doolittle分解法将矩阵A分解为LU形式，这样在求解Au = y时，只需要迭代两次就能得到u和y，降低了计算复杂度。此外，分解过程中还能计算出矩阵A的行列式，利用|A| = |L| * |U|，其中|L|为单位矩阵，|U|为下三角矩阵的对角元素乘积。 3. **特征值逼近**：为了计算A与μk = λ1 + k(λ501 - λ1)/40 (k = 1, 2, ..., 39)最接近的特征值，通过原点平移的方式不断调整A，然后用反幂法求得按模最小特征值加上相应的μk，得到λik。 4. **谱范数条件数**：题目要求计算A的谱范数条件数cond(A)，它等于A的模最大特征值与A逆的模最大特征值的乘积，即cond(A)2 = λm * λs。由于A的模最小特征值即为其逆的模最大特征值，因此这个条件数的计算只需找到λm和λs即可。 源程序部分展示了如何实现这些算法，例如通过`multiply`函数计算向量内积，以及定义了辅助函数如`Max`和`Min`用于比较整数大小。整个大作业不仅考验了学生的编程技巧，还深入剖析了数值分析中的基础理论和实际应用。