高等代数第四章矩阵典型例题1 - V1, V2空间及其元素的关系

高等代数第四章矩阵典型例题1涉及到矩阵和向量空间的相关概念和性质。题目给出了四个向量α1 = (1, 1, 1, 1), α2 = (1, 1, −1, −1), α3 = (1, −1, 1, −1), α4 = (1, −1, −1, 1)，并要求我们进行一系列的判断和运算。 首先，题目要求判断向量α1是否属于向量空间V1，向量α2是否属于向量空间V2。向量α1的任意两个分量之和为2，而空间V1要求任意两个向量的和仍然在该空间内，所以α1属于V1。向量α2的任意两个分量之和等于0，而空间V2中的向量要求两个分量之和为0，所以α2属于V2。 接下来，题目要求判断向量β是否同时属于空间V1和V2。根据题目给出的条件，如果β属于V1，则β的任意两个分量之和等于2；如果β属于V2，则β的任意两个分量之和等于0。符合这两个条件的β是不存在的，所以β不属于V1和V2。 然后，题目要求判断向量γ是否同时属于空间V1和V2。根据题目给出的条件，如果γ属于V1，则γ的任意两个分量之和等于2；如果γ属于V2，则γ的任意两个分量之和等于0。符合这两个条件的γ是不存在的，所以γ不属于V1和V2。 接着，题目要求证明当α=β+γ时，其中β属于V1，γ属于V2时，α必定不属于V1和V2。假设存在β属于V1，γ属于V2，且α=β+γ属于V1和V2。根据V1的定义，β的任意两个分量之和等于2；根据V2的定义，γ的任意两个分量之和等于0。所以，α的任意两个分量之和应该等于2+0=2，然而α的任意两个分量之和并不等于2，因此假设不成立，可得证。 最后，题目要求证明当α属于V2，K为一个数时，α的倍数Kα一定属于V2。假设α属于V2，并且K为一个数，那么根据V2的定义，α的任意两个分量之和等于0。将Kα表示为(Kα1, Kα2, Kα3, Kα4)，则(Kα1+Kα2)+(Kα3+Kα4) = K(α1+α2) + K(α3+α4) = K(2+0) + K(0+0) = K*2 + K*0 = 2K，其中K为一个数。由此可见，Kα的任意两个分量之和等于2K，满足V2的定义条件。因此，Kα一定属于V2。 综上所述，通过对题目中给定的向量和向量空间的判断和运算，我们得出了一系列结论。在这个过程中，我们运用了向量空间的定义和性质，进行了逻辑推理和数学计算。通过这道题目的练习，我们加深了对高等代数中矩阵和向量空间的理解，并提高了我们的解题能力。