四元数与3D旋转：从几何到应用的深入解析

本文主要探讨四元数（Quaternion）与三维旋转的关系，针对互联网上普遍存在的抽象讲解，作者提供了一个更为实用和基于几何学和线性代数视角的深入解析。四元数是一种数学工具，它在计算机图形学、物理学等领域中广泛用于描述三维空间中的旋转，其与复数有相似之处，但具有更高的维度和更为丰富的性质。 首先，文章回顾了复数的基本概念，定义为z = a + bi，其中a是实部，b是虚部，满足i² = -1。复数可以看作是向量形式的线性组合，即z = [a, b]。理解复数及其与2D旋转的关系有助于后续四元数的学习，尽管不是核心内容，但对于初学者来说是个有益的铺垫。 接下来，作者着重介绍了四元数如何通过扩展复数的概念来处理三维旋转。四元数由四个实数构成，通常写作q = w + xi + yj + zk，其中w被称为实分量，其余三个分量x, y, z代表三维空间的三个轴向旋转分量。四元数的乘法规则不同于复数，但同样遵循线性代数原理，使得旋转操作变得简洁高效。 三维旋转通过四元数的乘法实现，可以直观地表示为旋转角度和旋转轴的组合，避免了角度-轴向参数化中的 gimbal lock问题。文章可能会详细阐述如何将旋转变换矩阵转化为四元数，以及四元数乘法如何对应于三维空间的旋转矩阵。 此外，作者分享了自己编写的MATLAB/Octave代码示例，通过实际操作演示四元数旋转的计算过程，并提供了GitHub链接以便读者查看源代码和动画。同时，文章鼓励读者指出可能存在的错误或提供反馈，确保内容的准确性和完整性。 最后，作者强调了版权信息，提醒读者在分享和使用本文内容时遵循CCBY-NC-SA4.0协议，以及非商业使用的前提下进行署名。这篇文章为学习者提供了一种实用的方法来理解和应用四元数在三维旋转中的作用，对于那些希望在计算机图形学领域深入了解这一主题的人来说是一份有价值的资源。