L. Dritsa’s Notes on Robust and H
∞
Control
Lemma 12 Let A, M, N, ∆ be real matrices of appropriate dimensions with k∆k
2
< 1. Then for
P > 0 and scalar ε > 0 satisfying P − εMM
T
> 0
(A + M∆N)
T
P
−1
(A + M∆N) ≤ A
T
[P − εMM
T
]
−1
A +
1
ε
N
T
N (11)
See also Lemma (12).
Another useful inequality is derived by expanding (A + M∆N)
T
P(A + M∆N) in (9) and then
cancelling the term A
T
PA from both sides. Indeed since (A + M∆N)
T
P(A + M∆N) = A
T
PA +
A
T
PM∆N + N
T
∆
T
M
T
PA + (N
T
∆
T
M
T
)P(M∆N) and (9) immediately yields
Lemma 13 Let A, M, N, ∆ be real matrices of appropriate dimensions with k∆k
2
< 1. Then for
P > 0 and scalar ε > 0 satisfying εI − M
T
PM > 0,
A
T
PM∆N + N
T
∆
T
M
T
PA + (N
T
∆
T
M
T
)P(M∆N) ≤ A
T
PM(εI − M
T
PM)
−1
M
T
PA + εN
T
N (12)
1.6 Schur Complement and LMIs
Lemma 14 The following statements are equivalent (“⇔”)
"
X Y
Y
T
Z
#
< 0 ⇔
Z < 0 and X − YZ
−1
Y
T
< 0
X < 0 and Z − Y
T
X
−1
Y < 0
"
Z Y
T
Y X
#
< 0,
(13)
Schur’s Lemma (13) also valid with “>” inequality sign.
Remark 15
"
X Y
Y
T
Z
#
< 0 ⇒ X < 0 and Z < 0
The following Lemmas are Direct Application of Schur’s Lemma (13)
Lemma 16 ( > 0)
A B D
T
B
T
C E
T
D E −I
< 0 ⇔
"
A B
B
T
C
#
+
1
"
D
T
E
T
#
h
D E
i
< 0
⇔
−I D E
D
T
A B
E
T
B
T
C
< 0
(Sketch of Proof: Conceive the RHS as X − YZ
−1
Y
T
< 0 with X =
"
A B
B
T
C
#
, Y =
"
D
T
E
T
#
,
Z = −I < 0 and apply Schur’s Lemma)
L. Dritsas 2011 10
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