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提升信息学竞赛算法能力:从基础到高级策略
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更新于2024-07-20
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"《大神算法——从蒟蒻到普及+/提高》是一份针对已有基础编程知识的学习者设计的算法讲义,主要聚焦于提升信息学奥林匹克竞赛中常用的基本算法技巧。该讲义共涉及六个核心部分:算法基础篇、枚举法、回溯法、递归算法、递推法、分治法、贪心法、搜索法(分为一和二)、广度优先搜索算法以及动态规划法。 算法基础篇首先阐述了算法的定义,强调算法在程序设计中的核心地位,指出它是解决问题的具体方法和步骤,是程序的灵魂。算法的五个特性被深入解析:有穷性确保算法有明确的结束点,避免无限循环;确切性要求每个步骤清晰无歧义,且对于相同输入有确定的输出;输入和输出定义了算法处理问题的起点和目标;可行性则保证每一步操作都能实际执行,算法可精确运行。 信息学奥赛中的基本算法部分逐个展开,如枚举法通过列举所有可能的解决方案来找到正确答案,适用于有限空间的问题。回溯法则在需要尝试所有可能性但部分选择无效时使用,通过撤销先前决策实现。递归算法通过自身调用解决子问题,而递推法则通过记录中间结果优化问题求解。分治法将大问题分解为更小的子问题独立解决,再合并答案。贪心法则是每一步都采取当前看起来最优的选择,不保证全局最优,但可以得到局部最优解。 搜索算法包括两种形式,一种是广度优先搜索,按层级顺序探索,另一种可能是更复杂的搜索策略。动态规划则是一种通过把原问题分解为子问题并储存中间结果来优化复杂问题的方法。 这些算法在信息学竞赛中至关重要,它们不仅训练了参赛者的逻辑思维和问题解决能力,也是提高编程效率和解决实际问题的关键工具。通过系统学习和实践这些算法,学员可以从初学者逐步提升到高级水平,更好地应对比赛和现实生活中的各种挑战。"
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在上面的解法中,枚举范围和枚举对象都没有错,而是在验证枚举结果时,判
定条件用错了。因为要保留二位小数,所以求出来的解不一定是方程的精确根,
再代入 ax
3
+bx
2
+cx+d 中,所得的结果也就不一定等于 0 ,因此用原方程
ax
3
+bx
2
+cx+d=0 作为判断条件是不准确的。
我们换一个角度来思考问题,设 f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d,若 x 为方程的根,则根
据提示可知,必有 f(x-0.005)*(x+0.005)<0,如果我们以此为枚举判定条件,问
题就逆刃而解。另外,如果 f(x-0.005)=0,哪么就说明 x-0.005 是方程的根,这
时根据四舍 5 入,方程的根也为 x。所以我们用(f(x-0.005)*f(x+0.005)<0) 和
(f(x-0.005)=0)作为判定条件。为了程序设计的方便,我们设计一个函数 f(x)计
算 ax
3
+bx
2
+cx+d 的值,程序如下:
{$N+}
var
k:integer;
a,b,c,d,x:extended;
function f(x:extended):extended; {计算 ax
3
+bx
2
+cx+d 的值}
begin
f:=((a*x+b)*x+c)*x+d;
end;
begin
read(a,b,c,d);
for k:=-10000 to 10000 do
begin
x:=k/100;
if (f(x-0.005)*f(x+0.005)<0) or (f(x-0.005)=0) then write(x:0:2,' '); {若 x 两端的
函数值异号或 x-0.005 刚好是方程的根,则确定 x 为方程的根}
end;
end.
用枚举法解题的最大的缺点是运算量比较大,解题效率不高,如果枚举范围
太大(一般以不超过两百万次为限),在时间上就难以承受。但枚举算法的思路简
单,程序编写和调试方便,比赛时也容易想到,在竞赛中,时间是有限的,我们
竞赛的最终目标就是求出问题解,因此,如果题目的规模不是很大,在规定的时
间与空间限制内能够求出解,那么我们最好是采用枚举法,而不需太在意是否还
有更快的算法,这样可以使你有更多的时间去解答其他难题。
信息学奥赛中的基本算法(回溯法)
如果上期的“百钱买百鸡”中鸡的种类数是变化的,用枚举法就无能为力了,
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