层次分析法：权向量计算与一致性检验详解

层次分析法是一种定性和定量结合的决策分析工具，由T.L.Saaty在20世纪70年代提出，用于处理在多因素决策过程中存在的主观性和复杂性。该方法的核心是通过构建层次结构模型来系统地评估和比较不同方案，它包括三个基本层次：目标层、准则层（或指标层）和方案层。 在计算层次单排序的权向量和一致性检验中，关键步骤如下： 1. **成对比较矩阵**：这是一种量化决策者对各个准则之间相对重要性的判断矩阵，通常采用1到9的标度，其中1表示两个准则完全相等，9表示完全不相等。例如，在选择钢笔的例子中，可能会根据“质量”对“价格”的重要性进行判断，形成一个比较矩阵。 2. **一致性检验**：这是确保决策过程合理性的关键步骤。通过计算矩阵的最大特征值（λmax），如果该值小于或等于4，那么被认为是一致的；若大于4，通常需要重新调整比较矩阵，直到一致性得到满足。这是因为Saaty建议一致性比率CR（CR = (λmax - n) / (n - 1），其中n为准则数量）小于0.1，以达到理想的一致性。 3. **权向量计算**：一致性检验通过后，可以通过特征向量来计算每个准则相对于目标层的权重。最大的特征向量对应于最重要的准则，这有助于确定决策中的优先级。 4. **模型构建**：在实际应用中，如购物、旅游选择或科研课题选择，首先确定目标（如购买钢笔、选择旅游地或选题），然后划分准则和方案，形成层次结构模型。在买钢笔的例子中，准则层包括质量、颜色、价格、外形和实用性，方案层则是具体的钢笔选项。 5. **排序和决策**：基于成对比较矩阵和权重，对每一层进行排序，并综合考虑所有准则的影响，最终得出对最优方案的判断。在这个过程中，层次分析法提供了一种结构化的方法来克服主观性，并确保决策的合理性。 层次分析法因其灵活性和直观性，已经成为众多领域，包括商业决策、项目管理、政策制定等方面广泛应用的重要工具。通过理解并掌握这一方法，决策者能够更好地量化和处理复杂决策中的多个维度，从而提高决策的科学性和有效性。