层次分析法(AHP)：计算权向量与一致性检验

层次分析法(AHP)是一种由美国运筹学家萨蒂(T.L.Saaty)在20世纪70年代提出的决策分析方法，主要用于处理包含多个目标和准则的复杂决策问题。它将复杂的问题分解为多层次的结构，通过成对比较矩阵来确定各因素的相对重要性，并进行一致性检验，以确保比较的合理性。 在层次分析法中，首先需要构建层次结构，通常包括目标层、准则层和方案层。目标层代表决策的总体目标，准则层包含影响决策的各个因素，方案层则为可供选择的不同选项。通过专家打分或者决策者的主观判断，形成成对比较矩阵，表示各因素之间的相对重要性。 例如，在购买电冰箱的决策过程中，可能会有容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、外界信誉和售后服务等多个评估标准。这些标准会被赋予不同的权重，以反映它们对总决策的重要性。成对比较矩阵就是用于记录这些比较的结果，例如矩阵元素aij表示标准i相对于标准j的重要性。 计算成对比较矩阵的最大特征值λmax对于一致性检验至关重要。如果λmax与矩阵的阶数n的几何平均数接近，则说明比较矩阵具有较好的一致性。在这个例子中，λmax=5.073，表明成对比较矩阵的一致性得到了验证。接下来，会将这个最大特征值对应的归一化特征向量作为各因素的权重向量，用于综合评价和排序各个方案。 权重向量反映了各因素在整个决策过程中的相对权重，通过加权求和或加权平均等方式，可以将各个标准的评价结果转化为单一的决策分数，从而帮助决策者做出最终的选择。 层次分析法在许多领域都有应用，如项目管理、企业战略规划、风险评估、质量控制等。其优点在于能够处理模糊性和不确定性，同时减少了对精确量化数据的依赖。然而，AHP也存在一定的局限性，如过度依赖决策者的主观判断，可能受个人偏见影响，以及在处理大量因素时的计算复杂性。 层次分析法提供了一种系统化、结构化的决策工具，通过层次结构、成对比较和一致性检验，帮助决策者在面对复杂问题时作出更为理性和科学的决策。