数值分析：Newton与Hermite插值多项式解析

"数值分析习题答案" 这篇资料主要涉及数值分析中的多项式插值和误差分析，包括Newton插值多项式、分段三次Hermite插值多项式以及近似值的误差分析。 首先，Newton插值多项式是数值分析中的一个基本概念，用于构建一个多项式函数来逼近给定数据点的函数。在给出的例子中，计算了|R3(x)|，这是对插值多项式在特定点的误差估计。误差通常通过余项的形式表示，如|R3(x)|=|f[x0,x1,x2,x3]|(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)，其中f是原始函数，[x0,x1,x2,x3]是插值节点。这个表达式表明插值多项式在非节点点的误差与该点到最近节点的距离有关。 接下来，题目要求在区间[-3,2]上，基于节点x0=-3,x1=-1,x2=1,x3=2，构造分段三次Hermite插值多项式，并给出每个小区间[xi,xi+1]上的表达式及误差公式。Hermite插值不仅考虑函数值，还考虑函数的一阶导数值，使得插值多项式更准确地反映函数的局部行为。在给定区间上，通过已知的函数值和导数值，可以构建出满足条件的三次多项式。解题过程中涉及到的N3(x)和H3(x)分别代表Newton形式和Hermite插值多项式，它们的系数通过差商或导数信息计算得出。 此外，资料还包含了近似值的误差分析，包括绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数。绝对误差限是近似值与真实值之间的最大可能差异，而相对误差限则是这个差异与真实值的比例。有效数字的位数决定了近似值的精度。例如，x1=5.420的有效数字是4位，其相对误差限约为0.00923%。同样，题目给出了不同近似值的有效数字和误差限的计算方法。 这些习题涵盖了数值分析中的多项式插值理论及其应用，以及数值计算中的误差分析，这些都是数值计算和科学计算中非常重要的基础内容。通过解决这类问题，我们可以更好地理解和掌握如何在实际问题中构建和评估插值多项式，以及如何分析近似计算的精度。