"第四章 从射影重构恢复欧氏重构是计算机视觉领域的核心内容，主要探讨如何在没有额外约束的情况下，从射影重构过渡到欧氏重构。射影重构只提供几何关系的投影，而欧氏重构则能提供实际的物理距离和角度。这一过程涉及到摄像机自标定技术，即在未知参数条件下确定摄像机的内在属性。本章重点介绍了基于Kruppa方程的摄像机自标定方法，并提出了一种新的分步算法，该算法首先使用共轭梯度法求解比例因子，随后线性解决Kruppa方程以完成摄像机内参数的标定。此外，还提出了一种在内参数已知情况下，从射影重构恢复欧氏重构的算法，该算法通过非奇异矩阵转换实现。实验验证了这些算法的有效性。本章的前提假设是摄像机在运动过程中内参数保持不变。"
在计算机视觉中，摄像机自标定是关键步骤，因为它允许在没有外部标定物体的情况下估计摄像机的内在参数，如焦距、主点位置和畸变系数。Maybank和Faugeras在1992年的开创性工作启发了后续的各种自标定方法，这些方法通常依赖于绝对二次曲线或其对偶绝对二次曲面。绝对二次曲线在射影空间中具有不变性，即使摄像机位置改变，其在像平面上的投影依然保持一致。绝对二次曲线的方程定义了摄像机内参数的约束，这对于建立数学模型和求解Kruppa方程至关重要。Kruppa方程是自标定过程中的核心，它与摄像机的投影几何紧密相关。
传统的Kruppa方程求解方法往往复杂且计算量大，因此，文中提出了一种分步算法来简化这一过程。首先，使用共轭梯度法求解比例因子，这是一种优化方法，可以有效地找到最小化目标函数的解。然后，利用求得的比例因子，方程可以被线性化，从而简化了求解摄像机内参数的过程。这种创新方法提高了效率，降低了计算难度。
一旦摄像机内参数被准确标定，接下来就可以进行从射影重构到欧氏重构的转换。射影重构仅提供了物体相对位置的投影信息，而欧氏重构则能恢复物体的实际三维坐标。为此，提出了一种算法，通过求解满足欧氏重构条件的非奇异矩阵，将射影坐标转换为欧氏坐标，从而得到实际的物理距离和角度。
本章的研究成果对于理解计算机视觉中的几何重构问题有重大意义，提出的算法不仅理论严谨，而且经过实验验证，证明了其实用性和有效性。这些方法对于机器人导航、增强现实、3D重建等领域具有重要的应用价值。
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